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doppelte nullstelle

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Funktionalanalysis

Funktionen

Tags: Funktion, Funktionalanalysis

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19:17 Uhr, 12.08.2009

ich hab da mal ein verständnisproblem. also ich hab hier eine rationale funktion

y = \frac{{(x + 1)}^{2}}{x - 1}

welche laut lösung eine doppelte nullstelle hat. wenn ich den funktionsverlauf betrachte hat sie jedoch nur eine nullstelle. was hat denn doppelte nullstelle in diesem fall zu bedeuten?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

anelka aktiv_icon

21:01 Uhr, 12.08.2009

Ich denke dass das maximum oder extremum auch in dem punkt

(- 1,0)

liegt.

D . h

. ist die erste ableitung

f' (x) = 0

im punkt

- 1

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21:56 Uhr, 12.08.2009

ah ach so, also wenn ich das richtig verstanden hab ist eine doppelte nullstelle eine stelle an der die funktion eine nullstelle sowie ein extremum besitzt. ja genau in der funktion welche ich angegeben hab ist ja auch die nullstelle bei

x = - 1

gleichzeitig ein rel. maximum. vielen dank

m-at-he

02:49 Uhr, 13.08.2009

Hallo,

"wenn ich das richtig verstanden hab ist eine doppelte nullstelle eine stelle an der die funktion eine nullstelle sowie ein extremum besitzt."

Ja, genau das hat anelka mit "Ich denke dass das maximum oder extremum auch in dem punkt

(- 1,0)

liegt." wohl sagen wollen, dumm nur, daß es nicht stimmt! Das einzige, was bei anelka richtig ist, ist der zweite Teil: "... die erste ableitung (ist)

f' (x) = 0

im punkt -1." Nullstelle der ersten Ableitung zu sein ist nur eine notwendige Bedingung für eine Extremstelle der Funktion, aber keine hinreichende!

Schau Dir mal die Funktion

f (x) = x^{3} + x^{2}

an, diese hat an der Stelle

x = 0

eine doppelte Nullstelle aber weder ein Maximum noch ein Minimum!

Jetzt zur Theorie an Deinem Beispiel:
Nullstellen von

\frac{{(x + 1)}^{2}}{x - 1}

sind die Stellen, die Nullstellen des Zählers sind, und im Definitionsbereich liegen. Der Definitionsbereich, das sind die reellen Zahlen ohne die Nullstellen des Nenners!

Also muß man zunächst die Nullstellen des Zählers ermitteln:

{(x + 1)}^{2} = 0

Wenn ein Produkt Null werden soll, so muß einer der Faktoren Null werden

\Rightarrow x + 1 = 0 \Rightarrow x = - 1

Jetzt erkennst Du sofort, daß

x = - 1

sowohl den ersten als auch den zweiten Faktor zu Null macht. Also wird das Produkt 2 Mal (doppelt) Null. Wenn Du das nicht gleich sehen würdest

(z . B

. bei

x^{3} + x^{2}),

müßtest Du eine Polynomdivision durchführen. Diese ergäbe in Deinem Beispiel

(x + 1),

in meinem Beispiel (Nullstelle

x = 0 \Rightarrow

Division durch

x)

ergibt das

x^{2} + x

. Jetzt sieht man oder rechnet nach, daß der Rest für den selben x-wert (bei Dir

x = - 1

bzw. bei mir

x = 0)

ebenfalls Null ergibt und man dividiert noch einmal durch den selben Term (bei Dir

(x + 1)

und bei mir

x)

und erhält dann bei Dir 1 und bei mir

(x + 1)

. Jetzt wird der Rest an der gefundenen Nullstelle nicht mehr Null,

d . h

. man konnte genau 2 Mal den Term

(x + 1)

bzw.

x

"rausdividieren". Deshalb heißt eine solche Nullstelle auch doppelte Nullstelle.

Anderes Beispiel:

x^{4} + x^{3}

erste Nullstelle:

x = 0

Division:

(x^{4} + x^{3}) : x = x^{3} + x^{2}

Der Rest ist das Beispiel von oben, da weißt Du schon, daß

x

eine doppelte Nullstelle ist,

d . h

. Du kannst noch weitere 2 Mal durch

x

dividieren. Insgesamt konntest Du dann also 3 Mal durch

x

dividieren. Damit ist

x = 0

eine 3-fache Nullstelle.

In jedem Fall gilt: Ist die Nullstelle einer Funktion auch Nullstelle der Ableitung, dann ist es eine mehrfache Nullstelle! Wie oft eine Nullstelle auftritt (doppelt, 3-fach,

...)

nennt man Vielfachheit einer Nullstelle. Ist die Vielfachheit einer Nullstelle gleich

n

und ist

n > 1,

dann ist diese Nullstelle auch Nullstelle der ersten Ableitung, dann aber mit der Vielfachheit

(n - 1)

. Da eine Ableitung auch nichts anderes als eine Funktion ist, ist die (n-1)-fache Nullstelle der ersten Ableitung einer Funktion eine (n-2)-fache Nullstelle ihrer Ableitung, also der zweiten Ableitung. Das kann man über alle Abeltungen weiterführen, so lange die Vielfachheit positiv ist, denn bei Vielfachheit Null gilt: Es ist keine Nullstelle mehr.

Daraus folgt: Ist eine Nullstelle einer Funktion auch Nullstelle der ersten

(n - 1)

Ableitungen dieser Funktion aber keine Nullstelle der n-ten Ableitung, dann ist diese Nullstelle eine Nullstelle mit der Vielfachheit

n .

Beispiel:

f (x) = x^{4} + x^{3}; x = 0

ist eine Nullstelle

f' (x) = 4 \cdot x^{3} + 3 \cdot x^{2}; x = 0

ist eine Nullstelle

f'' (x) = 12 \cdot x^{2} + 6 \cdot x; x = 0

ist eine Nullstelle

f''' (x) = 24 \cdot x + 6; x = 0

ist keine Nullstelle

\Rightarrow x = 0

ist Nullstelle der Funktion und der ersten 2 Ableitungen aber keine Nullstelle der dritten Ableitung

\Rightarrow n = 3 \Rightarrow

3-fache Nullstelle.

Ich hoffe, daß Du das verstanden hast und das Falsche von anelka wieder vergessen konntest.

cable aktiv_icon

20:42 Uhr, 17.08.2009

ich danke dir für die info, ich denke ich habs verstanden

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