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drei vektoren multiplizieren
Schüler Fachschulen, 10. Klassenstufe
Tags: Übriges
 
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hallo hallo, hätt bitte noch eine frage. Die Aufgabe lautet: Führen Sie mit den drei Vektoren a=(4 7), b=((-2) 5), c= (6 1) die Rechnung (a.b).c durch. Ist das Ergebnis gleich wie bei a.(b.c)? Wenn nein, was müsste für die Vektoren c und a zutreffen? (Es steht noch eine Anmerkung dabei: Beachten Sie, die inneren Produkte in den Klammerausdrücken sind Zahlenwerte, keine Vektoren!) Also, die Antwort lautet, nein, es ist nicht das selbe Ergebnis. (richtig?) Nun meine Frage, stimmt meine Übgerlegung, das es sich dann um ein Spatprodukt handeln müsste? Dann würde ich auf das selbe ergebnis kommen. die Rechnung dazu: (a x b) . c = (4 x (-2)).6 = (-48) daruntere (7 x 5).1 = 35 bei a . (b x c) = ((-2) x 6).4 = (-48) darunter (5 x 1) .7 = (35) Aber dabei müsste ich doch einen x, y, z Vektor haben, also das Volumen berechnen, oder? lg melanie |
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Hallo Melanie, also, dass die beiden Produkte unterschiedliches ergeben, ist vollkommen richtig! Der nachfolgende Teil, den du geschrieben hast, ist allerdings komplett falsch. Ein Vektorprodukt ist soweit ich weiß nur für den dreidimensionalen Raum definiert, hast du ja auch schon selber bemerkt: Aber dabei müsste ich doch einen x, y, z Vektor haben, also das Volumen berechnen, ´ Deine Rechnung kann man somit glaube ich mal getrost vergessen :-) Es war ja auch danach gefragt, wie a und c aussehen müssen, damit die Gleichung erfüllt ist. Meine Lösung: a und c müssen linear abhängig sein: Also: c = k*a wobei k beliebiger Faktor, kein Vektor! also z.B. a=(2|1) und c = (6|3) Dann: (a*b)*c = (a*b)*k*a Kommutativgesetz normale Multiplikation = k*(a*b)*a Kommutativgesetz Faktor mit Vektor = k*a*(a*b) Kommutativgesetz Skalarprodukt = k*a*(b*a) Kommutativgesetz Faktor mit Vektor = a*(b*k*a) = a*(b*c) Gibt's Fragen? |
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hallo sams, tja hui, ist ja voll der hammer. ich hab mir gedacht das meine lösung ein blödsinn ist, nun weiß ich auch warum ich nie und nimmer auf dieses ergebnis gekommen wäre. also k ist kein vektor sondern ein beliebiger faktor, kann es z.B. eine Temperatur oder energie sein, - also ein skalar? a und c sind von einander linear abhängig? heißt das, das die zwei vektoren durch parallelverschiebung ineinander übergehen, die gleiche richtung haben. na sorry ich versteh es nicht wirklich |
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tja hui, ist ja voll der hammer. ich hab mir gedacht das meine lösung ein blödsinn ist, nun weiß ich auch warum ich nie und nimmer auf dieses ergebnis gekommen wäre. Also, wie ich drauf gekommen bin: Die Frage war ja: Wenn nein, was müsste für die Vektoren c und a zutreffen? Ja, was kann für Vektoren zutreffen? Sie können identisch sein, linear abhängig voneinander oder linear unabhängig. Das sind so die drei Eigenschaften, die mir spontan für zwei Vektoren einfallen. Jetzt kann man zunächst mal gucken, was passiert, wenn sie identisch sind: Wenn die zwei Vektoren identisch sind, hast du ja da was stehen wie: (a*b)*a Du weißt, dass eine normale Zahl mit einem Vektor vertauscht, es ist also egal, ob da steht 2*a oder a*2 Das Skalarprodukt (a*b) ist ja im Prinzip auch nur ne normale Zahl, wenn du's ausgerechnet hast, also vertauscht (a*b) auch mit a = a*(a*b) Außerdem weißt du auch noch, dass das Skalarprodukt vertauscht, also dass a*b = b*a Also als Beispiel: (5|2)*(2|1)=5*2 + 2*1 = 2*5 + 1*2 =(2|1)*(5|2) Also kannst du das oben schreiben als: =a*(b*a) Das heißt, für identische Vektoren passt das ganze schonmal. Für linear unabhängige kannst du dein Anfangsbeispiel benutzen, da sind a und c voneinander linear unabhängig und die Gleichung ist nicht erfüllt. Bleiben noch linear abhängige Vektoren: linear abhängig bei zwei Vektoren bedeutet, dass du den einen Vektor darstellen kannst, indem du den anderen Vektor mit einem beliebeigen Vorfaktor multiplizierst. also k ist kein vektor sondern ein beliebiger faktor, kann es z.B. eine Temperatur oder energie sein, - also ein skalar? Es muss ein Skalar sein, wie du schon ganz richtig sagst. Natürlich sind Temperatur oder Energie Skalare, aber in der Mathematik geht amn meißt von ganz normalen reellen Zahlen aus, also z.B.: (6|5) und (36|30) Dann ist (36|30) = 6*(6|5) unser Vorfaktor wäre also hier 6. allgemein schreibt man also zwei linear abhängige Vektoren als: c = k*a wobei k eben jener skalarer Vorfaktor ist und a und c die beiden linear abhängigen Vektoren. heißt das, das die zwei vektoren durch parallelverschiebung ineinander übergehen, die gleiche richtung haben. Ja!Wenn du die zwei linear abhängigen Vektoren zeichnest, z.B. (6|3) und (2|1) dann siehst du, dass sie beide in dieselbe Richtung zeigen und der Vektor (6|3) um den Faktor 3 länger ist als (2|1). Für linear abhängige Vektoren kannst du dann quasi dasselbe machen wie für identische Vektoren, nur dass dann noch der Faktor k mit reinkommt. Dieser lässt sich aber beliebig hin- und herschieben, da er ja sowohl mit Vektoren als auch mit anderen "normalen Faktoren" beliebig vertauscht. Also kommst du dann auf die Umformungen von meiner ersten Antwort. na sorry ich versteh es nicht wirklich Aber vielleicht jetzt? :-) Sind noch irgendwo Fragen offen? |
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hallo sams, toll erklärt - einfach für mich - dodelsicher, :-) spitze danke ich versteh es! lg melanie |
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