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dreiseitige Pyramide mit Vektoren berechnen?

Schüler Sonstige,

Tags: dreiseitige Pyramide, Koordinatenursprung, oberfläch, Vektor, volum

 
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discere

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12:14 Uhr, 08.04.2015

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Hallo, ich habe folgendes Problem: ich war ein Monat lang krank und habe komplett das Thema um Vektoren verpasst. Jetzt hab ich eine Probeklausur erhalten und komme natürlich schon mit der ersten Aufgabe nicht zurecht.

1.
Gegeben sind: A(5|0|0) B(0|7|0) C(0|0|10)
Durch die Punkte A,B und C sowie durch den Koordinatenursprung O ist eine dreiseitige Pyramide gegeben.

Aufgaben:
a) Geben Sie die Oberfläche dieses Körpers sowie sein Volumen an.
b) Geben Sie einen Vektor an, der auf das Dreieck A,B,C senkrecht steht und die Länge 10 besitzt.
c) Ermitteln Sie die Winkel alpha, beta und gamma.
d) Nun sollen die Koordinaten von C(0|0|7) sein. Rechnen Sie das Volumen als Funktion der Koordinate Z und zeigen Sie, dass für beliebige Z gilt:
(Pfeile drüber)
OA+AB+BC+CO=o (oder O, dass weis ich nicht).

Ich möchte keine Lösungen haben, wenn es geht, denn diese helfen mir nicht.
Ich möchte wissen was ich mache muss.
Wenn jemand da ist der mir helfen kann, dass wäre echt super!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Pyramide (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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Bummerang

Bummerang

12:34 Uhr, 08.04.2015

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Hallo,

zu

Oberfläche der Pyramide: Die Punkte und liegen alle auf einer der drei Achsen, der Ursprung natürlich auf allen dreien. Damit lässt sich von jeder der drei Seiten, die in den drei Ebenen liegen, die von jeweils zwei Koordinatenachsen gebildet werden, leicht die Fläche ermitteln, da diese Dreiecke rechtwinklig sind. Um die Fläche der vierten und letzten Seite zu ermitteln, sind die Abstände der drei Punkte A bis zu ermitteln. Damit erhältst Du ein Dreieck, dessen Fläche Du berechnen kannst, ohne jemals was von Vektoren gehört zu haben. Der Abstand der Punkte A bis aber ist ja nichts anderes als die Länge der dritten Seite der zuerst betrachteten Dreiecke und da diese rechtwinklig sind, ist die Ermittlung der Hypothenuse auch kein Akt, zu dem man Vektorenrechnung benötigt...

Volumen: Nachdem Du nun alle Seitenlängen berechnet hast, kannst Du die Höhe der Pyramide ermitteln. Auch das kannst Du ohne Vektorrechnung. Tipp: Nimm als Grundfläche die Seite, die in der x-y-Ebene liegt und die Höhe ergibt sich dann als z-Koordinate. Warum so und nicht anders? Ich habe schon mal einen Blick auf geworfen...

Damit hat nur indirekt was mit Vektoren zu tun und ist von Dir lösbar!

zu

Schau in Deinem Lehrbuch nach, da steht sicher drin, wie man die Vektoren und ermittelt, wenn man die Punkte und gegeben hat. Dann ermittelst Du mit diesen zwei Vektoren und dem Kreuzprodukt (findest Du sicher auch in Deinem Lehrbuch) einen senkrechten Vektor. Dieser hat . eine Länge, die nicht gleich ist. Deshalb ermittelst Du von dem Ergebnisvektor die Länge (siehe Betrag oder Norm eines Vektors) und multiplizierst diesen Vektor mit Faktor .

zu

Wenn Du unter das Dreieck ABC ermittelt hast, dann kannst Du damit die drei Winkel und ermitteln, indem Du . den Kosinussatz bemühst. Auch keine Vektorrechnung nötig.

zu

Wenn Du bei den Tip beachtet hast, dann ist das Aufstellen der Funktion ein Klacks!

Und für



muss man nur wissen, wie man den Vektor zwischen zwei Punkten ermittelt (ohne auszurechnen!) und dass man für die Koordinaten jedes Punktes auch seinen Ortsvektor bei der berechnung hernehmen kann. Dann ist nämlich



und



und wenn man das oben einsetzt fällt eben links alles weg bis auf



Und jetzt muss man nur noch wissen, dass ein Vektor eine Richtung und einen Betrag hat und wenn man diesen Vektor umkehrt (mathematisch: mit multipliziert), dann bleibt der Betrag erhalten und die Richtung kehrt sich um. Das bedeutet nichts anderes als:

bzw.

Und man erhält auf der linken Seite:





Und genauso, wie man Null erhält, wenn man eine Zahl von sich selber anzieht, so erhält man den Nullvektor, wenn man einen Vektor von sich selbst abzieht!
discere

discere aktiv_icon

13:46 Uhr, 08.04.2015

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a) also kann ich die Zahlen von Punkten A(5|0|0) B(0|7|0) C(0|0|10) als Längeneinheit benutzten? 5cm, 7 cm, 10 cm? wenn es stimm dann:

also vier Dreiecke:
1: F=35
2: F=25
3: (unregelmäßiger Dreieck) a=11,20 b=12,20 c=a^2+b^2-2ab cos y
4: (unbekanntes Dreieck) aber die c Seite erschließt sich durch 3 Dreick.


da ist aber viel zu rechnen. 3 Flächen. eine C Seite. und Den vierten Dreieck und alle Flächen zusammen rechnen. Gibt es nicht ne schnellere Methode, weil da verliert man echt viel Zeit.
discere

discere aktiv_icon

14:01 Uhr, 08.04.2015

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b)


AB= B-A=(-5|7|0)


AC= C-A=(-5|0|10)

Kreuzprodukt:

x|y| z
-5|7| 0 = (70|-50|-35)
-5|0| 10


weite hab ich nicht verstanden.
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Bummerang

Bummerang

16:16 Uhr, 08.04.2015

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Hallo,

keiner weiss, was bei Dir "1:", "2:", "3:" und "4:" sein sollen .

zu

rechtwinkliges Dreieck ABO:
Kathetenlängen:


Fläche des rechtwinkligen Dreiecks:

rechtwinkliges Dreieck ACO:
Kathetenlängen:


Fläche des rechtwinkligen Dreiecks:

rechtwinkliges Dreieck BCO:
Kathetenlängen:


Fläche des rechtwinkligen Dreiecks:

Dreieck ABC:
Seitenlängen:



Fläche des Dreiecks: Eine schöne Formel für die Fläche ist diese:







.
.
.

Gesamte Oberfläche: . .

Volumen: Grundseite Dreieck ABO (liegt in der x-y-Ebene)
Grundfläche (Fläche der Grundseite) (siehe vorhin):
Höhe der Pyramide (gleich Abstand des Punktes von der Grundseite/x-y-Ebene):
Volumen der Pyramide:



zu







Länge des Vektors: .

Um die Länge auf den geforderten Wert zu bringen, muss man den gefundenen Vektor mit multiplizieren:


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