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duale abbildung, Injektivität, surjektivität

Universität / Fachhochschule

Tags: duale abbildung, Injektivität, surjektivität

 
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Maathee

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19:20 Uhr, 27.04.2011

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Hallo,
ich komm mit dieser Aufgabe nicht so ganz klar. Könnt ihr mir bitte weiterhelfen.


V,W K-Vektorräume, φ in Hom_K (V,W). Sei φ⋆ in Hom_K (W⋆,V⋆) die zu φ duale abbildung. Ich soll nun zeigen, dass φ surjektiv ⇔φ⋅ injektiv

Ich weiss nicht wie ich die Definitionen auf die Aufgabe beziehen soll. Kann mir da jemand nen Ansatz zu geben ? würd mich über eine Antwort freuen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
Sina86

Sina86

19:40 Uhr, 27.04.2011

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Hi,

ich gehe mal davon aus, dass V,W nicht-triviale Vektorräume, also ≠{0} sind (den Fall, dass V,W triviale Vektorräume sind, müsste man gesondert untersuchen, ist aber extremst einfach). Du weißt, das φ* eine lineare Abbildung ist. Also zeigst du, dass Kernφ*={0} ist. Sei also ψ∈W* mit φ*(ψ)=ψ∘φ=0, wobei die 0 selbstverständlich für die Nullabbildung steht.

Aus dieser Gleichung muss also nun folgen, dass ψ=0 ist. Dann hast du Injektivität gezeigt (also eigentlich genau so, wie man es bei linearen Abbildung immer macht).

Bei Dualräumen ist meistens das Problem, dass man alles durcheinander schmeißt. Daher schreibe dir am besten jede Funktion auf ein Schmierblatt mit den Infos, von wo nach wo sie abbildet und welche Eigenschaften sie hat.

Und ruf dir noch mal die genauen Definitionen von Surjektivität, Injektivität, Nullabbildung etc. ins Gedächtnis.

Lieben Gruß
Sina
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