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Vektorräume

Tags: Vektorraum

 
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RalphMo

RalphMo aktiv_icon

20:36 Uhr, 02.05.2012

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a)
Es sei V ein endlich dimensionaler Vektorraum über einem Körper K. Sei W<V ein Unteraum und f:W→V die Inklusion. zeigen Sie, dass die zu f duale Abbildung f*:V*→W* surjektiv ist mit kern(f*)=W0. Folgern sie daraus, dass W* zum Quotientenraum V*/W0 isomorph ist.

b)
Es sei K ein Körper, n eine positive Zahl und

W:={(x1,...xn)∈Kn:x1+...+xn=0}

ein Unterraum von Kn. bestimmen die W0 und W* als Unterraum bzw. Quotientenraum von (Kn)* jeweils durch die Angabe einer Basis.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
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michaL

michaL aktiv_icon

20:53 Uhr, 02.05.2012

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Hallo,

ich muss rückfragen, was mit W0 gemeint ist.

Übrigens: Bei einer Algebra jeden Typs (also auch bei Gruppen und Ringen usw.) gilt für surjektive Homomorphismen f:V→W, dass W≃V/ker(f).

Mfg Michael
RalphMo

RalphMo aktiv_icon

21:13 Uhr, 02.05.2012

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Mit W0 ist in diesem Fall der Orthogonalraum gemeint.
W* bzw. V* usw. bezeichnet Dualräume.
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hagman

hagman aktiv_icon

16:52 Uhr, 03.05.2012

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f⋆ ist einfach die Einschränkung, d.h. zu v⋆∈V⋆ ist f⋆(v⋆)=v⋆|W (bitte prüfen!)
Die Surjektivität von f⋆ ergibt sich also daraus, dass jede lineare Abbildung auf W zu einer auf V fortgesetzt werden kann (notfalls per Basisergänzung).

Für v⋆∈V⋆ gilt
v⋆∈kern(f⋆)  ⇔  v⋆|W=0  ⇔  v⋅∈W0

Fangfrage: An welcher Stelle wird die angegebene Voraussetzung, dass V endlichdimensional ist, verwendet?
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