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dualer Kegel
Universität / Fachhochschule
Tags: dualer Kegel, Kegel, mengen, Trennungssatz
 
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Guten Abend liebes Forum, ich habe bei folgender Aufgabe etwas Schwierigkeiten: Gegeben ist ein konvexer Kegel Der zugehörige Dualkegel ist dann folgende Menge Nun soll bewiesen werden, dass für abgeschlossenes X gilt: Dabei soll man mit dem starken Trennungssatz argumentieren. Dieser besagt , wobei A eine abgeschlossene, konvexe Menge ist. B ist konvex und kompakt () Meine Menge X erfüllt die Voraussetzungen für A. Die einelemtige Menge 0 erfüllt die Eigenschaften von B. Damit gilt Wie kann ich dann weiter argumentieren? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Kegel (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Hallo Svenja, der von dir so angegebene Trennungssatz kann nicht stimmen. Entweder gibt es hier Schreibfehler oder die Voraussetzungen sind falsch. Nimm als Beispiel als kompakte abgeschlossene konvexe Teilmengen des und . Dann ist das Infimum und das Supremum . Gruß ermanus |
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Also ich nehme an, dass und disjunkt sein sollen und dass der Satz dann besagt, dass es eine Linearform gibt, für die die von dir angegebene Ungleichung gilt, dass man also die beiden Mengen durch eine geeignete Hyperebene voneinander trennen kann. |
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Ja stimmt. Dann muss das Ungleichheitszeichen andersrum sein. Anscheinend würde dieser dann in der Vorlesung falsch bewiesen. Wie würde es dann weiter gehen? |
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Nein, der Satz dürfte wohl richtig sein und die Ungleichung ist auch richtig herum. Aber die Voraussetzungen sind in Wirklichkeit andere, als du sie angegeben hast. Nochmal mein Vorschlag: und sind disjunkte (!) abgeschlossene konvexe Teilmengen des Gesamtraumes und eine der beiden Mengen sei sogar kompakt. Dann gibt es (!) eine Linearform , so dass die behauptete Ungleichung gilt. Ist das eher der Satz aus der Vorlesung? |
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Anbei eine kleine Skizze zur Trennung. Die schrägen Linien sind die Höhenlinien einer Linearform, deren Werte von links unten nach rechts oben fallen. Dann liefert der rote Punkt (auf der grünen Höhenlinie) das Infimum von auf und der rote Punkt (auf der roten Höhenlinie) das Supremum von auf .  |
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Ja du hast Recht mit den Vorausssetzung.Ich habe vergessen zu sagen, dass die Mengen disjunkt sind. Das wichtige ist, Wie du sagst, dass eine Menge kompakt ist. Deshalb wollte ich die einelemntigr Menge 0 als Kompaktum hernehmen. K ist dann nur die abgeschlossene. Weiter weiß ich nicht. Aber Wsl ist das falsch, da ja 0 in K ist. Also sind meine beiden Mengen nicht disjunkt. |
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Wie könnte man sonst vorgehen? |
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Ich bin mir leider noch nicht sicher, ob meine Idee funktionieren wird: Lass uns der Menge den Namen geben. Dann ist ja leicht zu sehen, dass gilt. Ich dachte, dass man nun annimmt, es wäre , und dies zum Widerspruch führt. Sei also abgeschlossen und Da abgeschlossen ist, gibt es eine offene Umgebung von mit . Im enthält jede offene Umgebung sogar eine kompakte konvexe Umgebung : . Nun haben wir die beiden disjunkten Mengen und , wobei sogar kompakt ist. Für diese beiden Mengen gilt also dein starker Trennungssatz. Ich weiß aber noch nicht, wie ich ihn anwenden soll :( |
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Ich sehe erstmal nicht, warum gilt. Mit X meinst du dann schon wieder meine 2. Menge. Also X ist der Kegel und der zugehörige Dualkegel sozusagen? |
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ist das Doppeldual von , also , das ist doch die Menge, deren Gleichheit zu du zeigen sollst. Nimm dir also ein und überlege, warum liegen muss, dann wirst du einsehen ;-) |
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Ich habe doch die Menge und zu dieser habe ich die duale Menge X. So verstehe ich das? |
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Ja, aber du hast doch noch eine dritte Menge, nämlich . Diese ist doch von der Definition weder noch . Vielmehr besteht ja gerade deine Aufgabe darin zu zeigen, dass eben diese dritte Menge mit übereinstimmt. Das ist der Sinn der Aufgabe. Vielleicht hast du nicht scharf genug hingeguckt ;-) ? |
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Ich habe doch nur 2: Der Dualkegel ist defniert als für alle Zeige mit Hilfe des strikten Trennungssatzes, dass für abgeschlossen gilt: für alle . Wo kommt dann die 3. Menge her? |
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Deine letzte Zeile heißt doch: Rechts von dem Gleichheitszeichen steht doch bei dir eine Menge, die von der Definition her von und abweicht ! |
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Aso, dann habe ich es ja noch weniger als gedacht, verstanden. Wie ist denn ursprünglich dann definiert? |
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Sozusagen gar nicht. Wir wissen einzig und allein, dass ein konvexer Kegel ist :( Dualsein ist im allgemeinen nicht symmetrisch, d.h. wenn das Duale zu ist, muss keineswegs das Duale zu sein. Wenn aber in unserem Falle abgeschlossen ist, sollen wir zeigen, dass das Duale zu , also das wieder das ursprüngliche ist. |
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Ich denke ich verstehe es. Du kommst zum Schluss deiner Überlegungen auf den Tennungssatz, aber was scheitert konkret bei der Anwendung? |
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Im Augenblick scheitere ich an der Begrenztheit meines Geistes ;-) Vielleicht siehst du ja, wie man ihn so anwenden kann, dass ein Widerspruch entsteht. |
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Ich überlege natürlich auch, aber wie du merkst, scheitere ich schon an den Überlegungen davor:-) Aber dank, dass du mir bis hierhin geholfen hast. |
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OK, unser Team ist halt noch nicht ganz ausgewogen,. Aber ich hoffe, dass ich noch eine passende Idee bekomme ... Also bis später Gruß ermanus |
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Ja danke dir:-) Bis später:-) Ich überlege dann mal weiter. |
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Hallo, es geht nochmal um das Wenn aus ist, Dann ex. ein mit und das liegt doch in ? |
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Oh, leider bringst du alles noch ziemlich durcheinander. Ein kann nicht in liegen; denn in liegen "normale Vektoren", steht hingegen für die Linearform . Ein kann also nur in liegen. Nun hier - vielleicht verständlicher - ein Beweis für : Sei . Dann folgt ; denn für jedes gilt ja nach Definition von sogar , also insbesondere für unser . Nun ist , also . |
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Hier noch eine kleine Skizze zum Dualkegel. Der Kegel ist blau, der Dualkegel die Gesamtmenge rosa + blau. Zu zeigen ist dann, dass der Dualkegel von - also - wieder das ursprüngliche ist.  |
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Hallo Svenja, bitte teile mir doch mal den genauen Wortlaut der Trennungssätze mit, die ihr gehabt habt; denn wenn wir den richtigen Wortlaut haben, ist das Ganze vielleicht nicht mehr so schwer. Ich würde jetzt gerne so vorgehen: Ich zeige, dass gilt. "Meine" Version des strikten Trennungssatzes besagt: Wenn ein konvexer und abgeschlosser Kegel ist und ein Punkt außerhalb von , dann gibt es eine Hyperebene , die und strikt trennt, d.h. es gibt ein , für das gilt und . Dieses liegt dann offenbar in und wegen kann somit nicht in liegen. Gruß ermanus |
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Hallo ermanus. Langsam begreife ich die Aufgabe. Nochmal danke, dass du mir hilfst. Also zur Skizze. Der Dualkegel ist sozusagen der Kegel,der von den Strahlen begrenzt wird, die im Grad Winkel zu den Strahlen des Kegels stehen. ist ja ein euklidische Skalarprodukt. Deinen Beweis mit dem Trennungssatz verstehe ich. Unsere Formulierung war: Ich habe 2 disjunkt abgeschlossene, konvexe Mengen A und wobei beschränkt ist. Dann gilt und inf >supremum wobei das Supremum über die Menge gebildet wird. Das ist ja egal so ähnlich wie dein Trennungssatz. Ich kapiere trotzdem immer noch nicht ganz Wir haben die beiden Mengen und . Dabei soll dann die Menge . Ok wir nehmen ein . Dann verwendest du die Mengenbeziehung für . Oder verwendet man egtl die Beziehung für X? |
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Ja, das mit dem Dualkegel und den 90 Grad siehst du richtig. In "meinem" Trennungssatz ist die Menge sozusagen die konvexe beschränkte abgeschlossene Menge. Das für dich so schwer verdauliche ;-) versuch ich später nochmal vielleicht etwas anders zu erklären, oder ich erkläre es dir 50 Mal genauso und die gibst dann im Endeffekt auf ;-) Gruß ermanus |
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Ja leider ist für mich zu schwer. Du nimmst doch die Def. von her,die dann aber am Ende gleich ist mit der von |
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