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dualraum, duale Basen bestimmen - so richtig?

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Lineare Abbildungen

Vektorräume

Tags: duale basis, Dualraum, Lineare Abbildungen, Transformationsmatrix, Vektorraum

Hamster88 aktiv_icon

01:46 Uhr, 22.05.2010

Hi alle zusammen,
wir habe jetzt das Thema Dualräume angefangen und dazu muss ich ein paar Aufgaben lösen. Den Großteil habe ich schon, bin mir aber wirklich gar nicht sicher. Wäre nett, wenn sich das jemand anschauen könnte und mir bei der letzten Aufgabe vielleicht nen Ansatz nennen könnte =)
Hier die Aufgabe:

a) Die Vektoren

b_{1} = (\begin{array}{rcl} 0 \\ 1 \\ 3 \end{array}), b_{2} = (\begin{array}{rcl} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array})

und

b_{3} = (\begin{array}{rcl} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array})

bilden eine Basis des

ℝ^{3}

. Bestimmen Sie zu

B = {b_{1}, b_{2}, b_{3}}

die duale Basis

B^{*}

(ℝ^{3})^{*}

.

b) Sei

ϕ = (1, 2, 2) \in (ℝ^{3})^{*}

. Bestimmen Sie die Koordinaten von

ϕ

bezüglich der Basis

B^{*}

.

c) Seien

B, B^{ʹ}

Basen des

ℝ^{n}

mit Transformationsmatrix

T

. Berechnen Sie die Transformationsmatrix

T^{*}

zwischen den dualen Basen.

So...

zur a) hab ich 3 Gleichungssysteme aufgestellt und die gelöst, also so, dass

v_{i}^{*} (v_{j}) = δ_{i j}

gilt. Da hab ich dann raus, dass die Basis dann aus den Vektoren

b_{1}^{*} = (\begin{array}{rcl} - 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}), b_{2}^{*} = (\begin{array}{rcl} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}), b_{3}^{*} = (\begin{array}{rcl} 5 \\ - 3 \\ 1 \end{array})

besteht. Ich hoffe, das stimmt so, bin ja noch ganz neu in dem Thema ^^

zur b) dachte ich mir erstmal, dass

ϕ

ja eine Abbildung ist. Und ich weiß nicht so genau, was Koordinaten einer Abbildung sein sollen. Naja habe einfach mal das naheliegenste gemacht, also einfach den Vektor

(\begin{array}{rcl} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array})

auf meine 3 Vektoren der Basis aus a) angewendet. Da kommt dann

(0, 1, 1)

raus.

Bei der c) habe ich nun leider wirklich keine Ahnung. Da brauche ich paar Ansätze von euch =)

Vielen Dank schonmal

LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

hagman aktiv_icon

09:51 Uhr, 22.05.2010

a)

is OK (zeigt jedenfalls die Probe)

b)

Der Vektor

(\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{matrix})

als A. Das ist genausbbildung

ℝ^{3} \to ℝ

ist gemeint als

v \mapsto 〈 v, (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) 〉 = x + 2 y + 2 z

. Das ist ganz genauso, wie du ja

b_{1}^{⋆}

usw. mit drei (Standard-)Koordinaten angibst.
Es ist

Φ (b_{1}) = 8, Φ (b_{2}) = 7, Φ (b_{3}) = 2,

also

Φ = 8 b_{1}^{⋆} + 7 b_{2}^{⋆} + 2 b_{3}^{⋆}

(denn es ist da

b_{i} \cdot (b_{j}) = δ {i j})

Hamster88 aktiv_icon

23:30 Uhr, 24.05.2010

Hi
es tut mir Leid, dass ich so lange gebraucht habe um zurück zu schreiben. Konnte leider an keinen PC.
Nunja, also bei der b).... verstehe immernoch nich ganz, was diese Koordinaten sein sollen... das was du da gerechnet hast kann ich ja nachvollziehen, aber wieso ist dann

ϕ = 8 b_{1}^{*} + 7 b_{2}^{*} + 2 b_{3}^{*}

??? Also wenn ich das ausrechne, dann kommt 5 raus... Hmmm... stehe wohl aufm Schlauch ^^ Könntest du das nochmal kurz erklären?

Und evtl. noch ne Idee zur c)

Danke nochmals für deine Antwort

Dragonfly89 aktiv_icon

18:11 Uhr, 25.05.2010

Ahh ja, der gute SMS, nehme ich mal an :-)
Wenn ich das richtig verstanden hab, musst du bei der

b

nur folgendes Gleichungssystem lösen:

(\begin{matrix} - 2 & 1 & 5 \\ 1 & 0 & - 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{matrix})

...und rauskommt:

(\begin{matrix} 8 \\ 7 \\ 2 \end{matrix})

bzw. gerade

φ = 8 b_{1}^{⋆} + 7 b_{2}^{⋆} + 2 b_{3}^{⋆}

Hm ja und mit der

c

hab ich mich noch nicht beschäftigt...

Hamster88 aktiv_icon

20:05 Uhr, 25.05.2010

Hmmm stehe immernoch aufm Schlauch ^^ wieso muss man dieses GLSystem lösen?
Sry für die blöden Fragen ^^

und was meinst du mit SMS????

Hamster88 aktiv_icon

19:50 Uhr, 26.05.2010

Kann mir das bitte bitte nochmal jemand erklären?
Hört sich eig. nicht schwer an, aber ich verstehs nich ^^ Sry...

Dragonfly89 aktiv_icon

19:50 Uhr, 27.05.2010

Naja, du willst

φ

ja quasi als Linearkombination deiner Basisvektoren darstellen (was die Basis schließlich können sollte, da sie den

(ℝ^{3}) ⋆

erzeugt (Erzeugendensystem))
Gesucht ist also eine Darstellung

φ = (1,2,2) = a \cdot (- 2,1,0) + b \cdot (1,0,0) + c \cdot (5,3,1)

und jetzt möchtest du deine

a, b, c

rauskriegen

\Rightarrow

Du stellst ein Gleichungssystem auf (meins vom letzten Beitrag müsste man noch transponieren, also so: )

(a, b, c) \cdot (\begin{matrix} - 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 5 & - 3 & 1 \end{matrix}) = (1,2,2)

bzw.

(- 2) \cdot a + b + 5 \cdot c = 1

a - 3 \cdot c = 2

c = 2

Die Lösung ist:

a = 8, b = 7, c = 2

Also

φ = 8 \cdot (- 2,1,0) + 7 \cdot (1,0,0) + 2 \cdot (5, - 3,1)

fertig :-)

PS: mit SMS meinte ich den sehr geehrten Herrn Prof. Dr. S. Müller-Stach

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