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dyadisches Produkt?

Universität / Fachhochschule

Skalarprodukte

Tags: Skalarprodukt

Julia-94 aktiv_icon

09:24 Uhr, 19.07.2017

Hallo, ich habe folgende Aufgabe:
Seien,

m, n \geq 1

. In der Vorlesung wurde ein Isomorphismus

h : (ℝ^{m})

⊗

ℝ^{n} \to

Hom

(ℝ^{m}, ℝ^{n}) = ℝ

^(mxn) konstruiert, sodass

h (α

⊗

v)

(für

α \in (ℝ^{m}) ⋆, v \in ℝ^{n})

der Homomorphismus ist, der

u \in ℝ^{m}

auf

α (u) \cdot v

abbildet.

a)

Im Fall

m = 4, n = 3 :

Bestimmen Sie

h ((1030)

⊗

(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) + (0110)

⊗

(\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

(als Matrix)

b)Zeigen Sie: Sind

α \in ℝ^{m}

und

v \in ℝ^{n},

so hat die Matrix

h (α

⊗

v)

den Rang höchstens 1.

Zu

a)

Da habe ich berechnet:

(\begin{matrix} 1 \cdot 0 & 1 \cdot 0 & 3 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 1 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 3 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 1 \cdot 1 & 0 \cdot 1 & 3 \cdot 3 & 0 \cdot 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 3 & 0 \end{matrix})

(\begin{matrix} 0 \cdot 2 & 1 \cdot 2 & 1 \cdot 2 & 0 \cdot 2 \\ 0 \cdot 1 & 1 \cdot 1 & 1 \cdot 1 & 0 \cdot 1 \\ 0 \cdot 1 & 1 \cdot 1 & 1 \cdot 1 & 0 \cdot 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{matrix})

und beide addiert eergibt dann:

(\begin{matrix} 0 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 4 & 0 \end{matrix})

Ist das so richtig ?

Zu

b)

Da habe ich begründet mit: Es ist ein dyadisches Produkt zweier Vektoren und keins der Vektoren ist ein Nullvektor, deshalb hat

h (α

⊗

v)

den Rang höchstens 1. Man spricht von Rang-Eins-Matrizen

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Skalarprodukt

ermanus aktiv_icon

10:22 Uhr, 19.07.2017

Hallo Julia,

a) ist bis auf ein paar Schreibfehler in der ersten Matrix richtig.
b) habt ihr denn in eurer Vorlesung / in euren Unterlagen speziell Aussagen
über das dyadische Produkt ?

Gruß ermanus

Julia-94 aktiv_icon

10:49 Uhr, 19.07.2017

Schreibfehler habe ich korrigiert :-) Danke
Nein, ich habe im Internet und Büchern geschaut

ermanus aktiv_icon

11:25 Uhr, 19.07.2017

Das spricht natürlich für deine "wissenschaftliche Eigenständigkeit" ;-)
Ich würde aber an deiner Stelle nicht so argumentieren, da du dich dann auf
Dinge berufst, die zwar stimmen, sich jedoch nicht unmittelbar aus eurem
Lernmaterial ergeben.

Alternative:
betrachte

B i l d (h (α \otimes v))

, also das Bild des Homomorphismush

h (α \otimes v)

.
Das besteht doch nur aus Vektoren der Gestalt

α (u) v

. Diese Vektoren liegen alle
im

s p a n (? ? ?)

...
Zur Erinnerung: der rang eines Homomorphismus ist die Dimension des Bildes ...

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