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eine Funktion finden, die äquivalent zu ... ist

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Differentialgleichung, Funktion, System

kerox75 aktiv_icon

20:51 Uhr, 07.12.2022

ich habe meine Differentialgleichung in ein System DGL 1. Ordnung geschrieben und muss nun eine Funktion finden, die die Bedingungen

Y

' (\to) = (\begin{matrix} y' 1 (t) \\ y 2' (t) \end{matrix}) = (\begin{matrix} F 1 (y 1, y 2) \\ F 2 (y 1, y 2) \end{matrix}) = F ((\to) (y \to))

erfüllt Mein System sieht so aus

Y

(\to) = (\begin{matrix} 2 \cdot x (t) \\ x'' (t) \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 x (t) \\ \frac{1}{3} y 1 (t) - 3 cos (y 2 (t)) - 5 y 2 (t) \end{matrix})

nun weiss ich nicht, wie ich das in den letzen Ausdruck zusammenfassen bzw packen kann/ soll/darf.

Vielen Dank schonmal und die Pfeile sollen denk Vektor symbolisieren, mit mit der Reform hier nicht bekannt, sorry

PS: bin nur Biostudent, bitte verlangt mir keine Definitionen ab, wir haben wirklich nix dahinter besprochen, ich habe kein großes Vorwissen

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Punov aktiv_icon

21:11 Uhr, 07.12.2022

Nabend,

könntest du mal bitte die ursprüngliche Differentialgleichung aufschreiben, die du in ein System erster Ordnung umgeformt hast?

Irgendwie ist da in deinem System Einiges durcheinander (es tauschen zum Beispiel

x

und

y

auf). Ich vermute, du hast irgendwie

x = y ʹ

gesetzt und in der zweiten Gleichung soll

x ʺ

eigentlich

x ʹ = y ʺ

sein.

Viele Grüße

kerox75 aktiv_icon

21:18 Uhr, 07.12.2022

Hallo, ja klar, habe es anbei reingestellt, ich war mir sowieso sehr unsicher dabei. Könnest dublier dann direkt sagen, was mein Fehler war?

Vielen Dank

Punov aktiv_icon

21:42 Uhr, 07.12.2022

Hallo,

im Grunde lagst du gar nicht sehr daneben, nur bei der Substitution ist ein bisschen Verwirrung entstanden, denke ich.

Die Differentialgleichung

x ʺ (t) = \frac{1}{3} x^{2} (t) - 3 \cos (x ʹ (t)) - 5 x ʹ (t)

soll durch die Substitution

y_{1} (t) = x (t)

und

y_{2} (t) = x ʹ (t)

in ein System erster Ordnung überführt werden. Da du jetzt zwei Unbekannte hast, benötigst du auch zwei Gleichungen erster Ordnung.

Die erste Gleichung ist einfach

y_{1} ʹ (t) = y_{2} (t) = F_{1} (y_{1}, y_{2})

,

denn

y_{1} ʹ (t) = x ʹ (t) = y_{2} (t)

. Die rechte Seite nennst du

F_{1} (y_{1}, y_{2})

, wobei sie hier faktisch nur von

y_{2}

abhängt.

Die zweite Gleichung ist wegen

y_{2} ʹ (t) = x ʺ (t)

wie die gegebene Gleichung, nur dass du jetzt

x

und

x ʹ

durch

y_{1}

bzw

y_{2}

ersetzt:

y_{2} ʹ (t) = \frac{1}{3} y_{1}^{2} (t) - 3 \cos (y_{2} (t)) - 5 y_{2} (t) = F_{2} (y_{1}, y_{2})

.

Jetzt fasst du alles in Matrixform zusammen, also die

y_{1}

und

y_{2}

fasst du zum Vektor

\vec{y} (t)

zusammen und die beiden rechten Seiten zum Vektoren

\vec{F}

.

Dann ergibt sich

\vec{y} ʹ = (\begin{array}{rcl} y_{1} ʹ \\ y_{2} ʹ \end{array}) = (\begin{array}{rcl} F_{1} (y_{1}, y_{2}) \\ F_{2} (y_{1}, y_{2}) \end{array}) = (\begin{array}{rcl} y_{2} \\ \frac{1}{3} y_{1}^{2} - 3 \cos (y_{2}) - 5 y_{2} \end{array}) = \vec{F} (\vec{y})

Das ist auch schon die gewünschte Form.

(Manchmal habe ich bequemlicherweise einfach

y_{1} = y_{1} (t)

usw. geschrieben, d.h. das Argument

t

nicht zwangsläufig immer mitgeschrieben.)

Viele Grüße

kerox75 aktiv_icon

22:27 Uhr, 07.12.2022

Vielen vielen Dank!

Also habe ich es richtig verstanden, dass ich für die Subtstition keine Faktoren oder Exponenten betrachte sondern nur die ,linearen'' Teile? Denn das war meine Verwirrung.

Und die letzte Funktion ist ja vom Vektor der nicht abgeleitet wurde abhängig bedeutet das also dass ein abgeleiteter Vektor eine Abbildung des glichen nicht abgeleitetn Vektors ist? Also ich würde gerne den Hintergrund dahinter verstehen, wenn er denn ersichtlich ist, denn ich kann mir das um ehrlich zu sein nicht so gut vorstellen..... also gibt es da ein gutes Beispiel oder eine illustzartion, oder ein Buch?

Ich würde es gerne verstehen wollen :-)

Vielen Dank!

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