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einheitsvektor, orthogonale einheitsvektoren

Schüler

Tags: Einheitsvektor, Vektor, zueinander orthogonal

anonymous

22:17 Uhr, 16.07.2015

Hallo,

Ich habe folgende Aufgaben:

1)

Es sei vektor

a 0

ein einheitsvektor.
berechne vektor

a 0 \cdot

vektor

a 0

2)

Es seien vektor

a 0,

vektor

b 0

zueinander orthogonale vektoren.
berechne vektor

a 0 \cdot

(-vektor

b 0)

Also bei

1)

Wenn nur vektor

a \cdot

vektor a dastehen würde, dann wäre das doch so:

a 1 \cdot a 1 + a 2 \cdot a 2 + a 3 \cdot a 3,

oder? (natürlich alles als vektor.)
was soll jetzt der unterschied bei vektor

a 0

sein? wie sieht das dann da aus?

2)

Wenn nur vektor

a \cdot

vektor

b

dastehen würde, dann wäre das doch so:

a 1 \cdot b 1 + a 2 \cdot b 2 + a 3 \cdot b 3 = 0,

oder? (natürlich alles als vektor.)
wie gesagt, mich verwirrt nur dieses vektor

a 0

und vektor

b 0

. ich verstehe einfach nicht, was dann da der unterschied sein soll?

vielleicht kann mir ja jemand helfen...

danke und LG Jenny. :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Parallelverschiebung
Rechnen mit Vektoren - Einführung
Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten
Skalarprodukt
Vektorprodukt

abakus

22:25 Uhr, 16.07.2015

Hallo,
erinnere dich bitte daran, dass

\vec{a} \cdot \vec{b} = ∣ \vec{a} ∣ \cdot ∣ \vec{b} ∣ \cdot c o s (∠ (\vec{a}, \vec{b}))

gilt (und wende diese Beziehung auf deine Aufgaben an).

anonymous

22:28 Uhr, 16.07.2015

also

d . h

. ich mache das genauso, nur dass ich noch eine kleine null ergänze oder wie? und wie ist das bei vektor a0*vektor

b 0 = 0

? danke. :-)

Roman-22

22:35 Uhr, 16.07.2015

>

a1⋅a1+a2⋅a2+a3⋅a3, oder? (natürlich alles als vektor.)
Nein - natürlich NICHT "alles vektor".
Ich denke, es wäre übrigens an der Zeit, dass du dir
http//www.onlinemathe.de/download/onlinemathe_mathematische_zeichen.pdf
näher ansiehst.

>

was soll jetzt der unterschied bei vektor

a 0

sein? wie sieht das dann da aus?
Ganz genau so. Wenn

{\vec{a}}_{0} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}),

dann gilt natürlich auch

{\vec{a}}_{0} \cdot {\vec{a}}_{0} = a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}

. Aber wenn

{\vec{a}}_{0}

ein Einheitsvektor ist, welcher Zusammenhang gilt denn dann für seine Komponenten

a_{i}

?
Alternativ kannst du auch die Formel verwenden, die Gast62 dir genannt hat und auf das gleiche, sehr einfache Ergebnis kommen.

R

anonymous

22:37 Uhr, 16.07.2015

hallo, wieso nicht? jedes einzeln als vektor, natürlich nicht alles zusammen als "riesenvektor". was ist denn die komponente ai?

Roman-22

22:39 Uhr, 16.07.2015

>

wieso nicht? jedes einzeln als vektor, natürlich nicht alles zusammen als "riesenvektor".

Nein.

a_{1}, a_{2}, a_{3}

sind, so wie du und auch ich sie verwendet haben die Komponenten des Vektors. Das sind Skalare, keine Vektoren!

R

anonymous

22:40 Uhr, 16.07.2015

achso, okay. aber wenn dieses a ersetzt wird durch zahlen, ist das doch dann ein vektor? aber wenn

a 0

ein Einheitsvektor ist, welcher Zusammenhang gilt denn dann für seine Komponenten ai? was ist damit gemeint? danke. :-) also einheitsvektor heißt doch einfach, dass der die länge 1 hat denke ich mal...

Roman-22

22:51 Uhr, 16.07.2015

Ich habe vorhin definiert

\vec{a_{0}} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})

und nicht

\vec{a_{0}} = (\begin{matrix} {\vec{a_{0}}}_{1} \\ {\vec{a_{0}}}_{2} \\ {\vec{a_{0}}}_{3} \end{matrix}),

obwohl das natürlich auch möglich wäre.
Bei all diesen Definitionen tritt aber keine Variable a auf!

Ich denke aber, dass du trotzdem deine Konzentration auf die Aufgabe und nicht die Bezeichner lenken solltest. Hast du dir schon was dazu überlegt?

R

abakus

22:52 Uhr, 16.07.2015

Ja, Ja, Ja! Jetzt hat sie 's!
Du multiplizierst also einen Einheitsvektor (einen Vektor mit dem Betrag 1) mit sich selbst!
Welchen Betrag hat der erste Faktor? Welchen Betrag hat der zweite Faktor?
Welcher Winkel besteht zwischen zwei identischen Vektoren?
Wie groß ist der Kosinus dieses Winkels?

anonymous

22:55 Uhr, 16.07.2015

beide vektoren haben einen betrag von 1. winkel...ja ich denke mal 0°, da sie identisch sind oder? und wie sieht das bei der

b

aus? danke...Jenny

abakus

23:15 Uhr, 16.07.2015

Orthogonale Vektoren -->
Welcher Winkel?
Kosinus davon?

anonymous

15:33 Uhr, 17.07.2015

orthogonal heißt ein winkel von 90°, also ein rechter winkel. cosinus davon...weiß ich nicht.. LG

abakus

16:11 Uhr, 17.07.2015

Dann mache dich kundig.

Roman-22

16:23 Uhr, 17.07.2015

Ist dir die Formel, die Gast62 dir genannt hat, nämlich

\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot cos (∠ (\vec{a}; \vec{b}))

überhaupt geläufig?
Kennst du sie, darfst/sollst du sie verwenden?
Was weißt du denn sonst alles über das Skalarprodukt zweier Vektoren?

R

anonymous

19:37 Uhr, 17.07.2015

hi roman. ja, diese formel kenne ich von der letzten mathestunde...ansonsten kannte ich davor nur diese a1*b1+a2*b2+a3*b3...also bei der a ist der cosinus 0° und bei der

b

90° oder wie? LG

Roman-22

22:03 Uhr, 17.07.2015

Ja, bei

a)

spielt der

cos (0^{\circ})

mit.
Dann fang doch einmal mit

a)

an. Du hast doch inzwischen sicher eruieren können, wie groß

cos (0^{\circ})

ist. Was ein Einheitsvektor

\vec{a_{0}}

ist, weißt du auch und was in der Formel die senkrechten Striche bei

| \vec{a} |

bedeuten, sollte dir auch klar sein, oder?
Dann musst du ja nur mehr einsetzen.

R

anonymous

22:05 Uhr, 17.07.2015

hi roman, also

cos

von 0° ist 1. also dann 1*1*cos(0°)? sieht irgendwie komisch aus.:-) also insgesamt dann alles 1? und stimmt mein ansatz bei der b? also cos(90°) und betrag von vektor a und

b

ist auch jeweils 1 oder wie?

Roman-22

22:41 Uhr, 17.07.2015

>

also

cos

von 0° ist 1. also dann 1*1*cos(0°)? sieht irgendwie komisch aus.:-)

>

also insgesamt dann alles 1?
Mag vielleicht komisch aussehen, ist aber das richtige Ergebnis. Das Skalarprodukt eines Einheitsvektors mit sich selbst ist eben immer 1.
Probiers aus.

\vec{a_{0}} = (\begin{matrix} 0,36 \\ 0,48 \\ 0,80 \end{matrix})

ist ein Einheitsvektor (prüfe es nach).
Multipliziere nun diesen Vektor skalar mit sich selbst.
Allgemein gilt

\vec{a} \cdot \vec{a} = {| \vec{a} |}^{2}

und bei einem Einheitsvektor ist der Betrag eben 1.

>

betrag von vektor a und

b

ist auch jeweils 1 oder wie?
Nein, bei

b)

steht in der Angabe nichts von Einheitsvektoren, auch wenn die Bezeichnungen

\vec{a_{0}}

und

\vec{b_{0}}

hier Assoziationen wecken mögen.
Du hast zwei Vektoren

\vec{a_{0}}

und

\vec{b_{0}},

die aufeinander normal stehen und sollst

\vec{a_{0}} \cdot (- \vec{b_{0}})

berechnen.
Offenbar sind wir mittlerweile schon soweit, dass wir wissen, dass, wenn

\vec{a_{0}}

und

\vec{b_{0}}

orthogonal sind, auch

\vec{a_{0}}

und

- \vec{b_{0}}

othogonal sind.

Was hast du denn über

cos (90^{\circ})

herausgefunden?

R

anonymous

12:14 Uhr, 18.07.2015

sry...die

b)

lautet:

es seien

a 0

und

b 0

zwei zueinander orthogonale einheitsvektoren. :-)

also dann stimmt mein ansatz doch, oder? LG Jenny.

Roman-22

13:24 Uhr, 18.07.2015

Das Schöne bei Aufgabe

b)

ist, dass es völlig egal ist, ob die beteiligten Vektoren Einheitsvektoren sind oder nicht.
Was ist nun mit

cos (90^{\circ})

und wie lautet dein Ergebnis für

b)

anonymous

13:53 Uhr, 18.07.2015

cos

von 90° ist doch

π

durch

2,

also dann 0 oder? ja, jedenfalls sollen es bei der

b

auch einheitsvektoren sein. ich verstehe nicht, welche formel man immer anwenden muss. ich kenne inzwischen einige formeln zu dem thema und bin da verwirrt. also welche formel muss ich bei der a und welche bei der

b

verwenden? Danke. :-)

Roman-22

14:15 Uhr, 18.07.2015

> cos

von 90° ist doch π durch

2,

also dann 0 oder?

!!

cos(90°) ist NICHT

\frac{π}{2}

und

\frac{π}{2}

ist nicht 0.
Auch wenn du vermutlich das Richtige meinst - so darf man das nicht ausdrücken.
Wir können uns aber gern auf cos(90°)=0 einigen.
Worin besteht jetzt noch dein Problem? Setz all das, was du kennst, einfach ein.
Was du mit "einige Formeln" meinst ist mir unklar. Es ging die letzten Posts die ganze Zeit nur um eine einzige.
Außerdem hast du in einer anderen Frage ja vor kurzem ohnedies signalisiert, dass du weißt, was das Skalarprodukt zweier orthogonaler Vektoren ist.

R

anonymous

14:19 Uhr, 18.07.2015

a)

formel 1: 1/betrag von vektor

a \cdot (a 1; a 2; a 3),

formel 2: vektor a0*vektor

a 0 = a 1^{2} + a 2^{2} + a 3^{2}

und formel 3: vektor a0*vektor a0=betrag von vektor a0*betrag von vektor

a 0 \cdot cos (a 0, a 0)

.
zu

b)

formel

1 : a 0 \cdot (- b 0) = a 1 \cdot (- b 1) + a 2 \cdot (- b 2) + a 3 \cdot (- b 3) = 0,

formel 2: ao*(-b0)= betrag von vektor a0*betrag von vektor -b0*cos(vektor ao,vektor

- b 0)

. das sind alle formeln, die ich habe. deshalb sprach ich halt von mehreren formeln.

LG

Roman-22

17:07 Uhr, 18.07.2015

>

formel 1: 1/betrag von vektor a⋅(a1;a2;a3),
Das ist keine Formel (kein

=)

. Außerdem: Formel wofür?
Überdies ist es unlesbar. Ich denke, du bist jetzt schon lange genug da um dich auch mit den vorhandenen Möglichkeiten des Formelsatzes auseinanderzusetzen.

>

formel 2: vektor a0*vektor

a 0 = a 1^{2} + a 2^{2} + a 3^{2}

Wertlos, wenn du nicht dazu sagst, was

a 1, a 2

etc. sein soll. Und wenn es um Einheitsvektoren geht, dann sind das eben nicht einfach beliebige Zahlen.

"formel 3" geht als einzige hier als Formel durch und um die ging es sowohl bei

a)

als auch bei b)die ganze Zeit.

>

formel 1:a0⋅(-b0)=a1⋅(-b1)+a2⋅(-b2)+a3⋅(-b3)=0
Sinnlos! Da

{\vec{a}}_{0}

und

{\vec{b}}_{0}

orthogonal sind (und noch dazu Einheitsvektoren), müsstest du, damit das an Sinn gewinnt, einen Zusammenhang zwischen den Komponenten

a 1

bis

b 3

angeben (und natürlich auch wieder dazu sagen, dass es die Komponenten der Angabevektoren sein sollen).

formel 2 siehe formel 3 von oben.

Aber es hat den Anschein, du hättest deine Ergebnisse mittlerweile gefunden.

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