Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online
Startseite » Forum » einzigartige positiv semidefinite (Eins-)Matrix

einzigartige positiv semidefinite (Eins-)Matrix

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: definit, Einsmatrix, Matrizenrechnung, positiv semi-definit, semidefinit

 
Antworten Neue Frage stellen Im Forum suchen
Neue Frage
Prime-O

Prime-O aktiv_icon

20:57 Uhr, 24.06.2019

Antworten
Lemma:
Es ex. eine einzigartige k x k positiv semidefinite Matrix A = [aij] für die gilt:
aij = 1 für |i-j| 1.
Nämlich die Einsmatrix.

Beweis:
k=2 ist nichts zu zeigen.
k=3
det (11x111x11) = -(1-x)2. Somit ist die Matrix nur für x=1 positiv semidefinit.
Also sind nur noch die Fälle für k 4 zu betrachten.

Die Frage ist jetzt, wie ich das zeigen kann?

In der originalarbeit steht:
''Angenommen k 4 und die k x k Matrix A ist positiv semidefinit mit aij = 1 für |i-j| 1.
Sei 1 i < j k für |i-j| 2.
Die 3 x 3 Hauptuntermatrix von A mit den dazugehörigen Reihen und Spalten i, i+1, j ist positiv semidefinit mit aij = 1 für |i-j| 1.''

Allerdings erscheint mit das nicht so ganz sinnvoll, denn dann ensteht ja z.B. die Matrix (mit Zeilen und Spalten i, i+1, j)
(11x11xxx1)
und darüber kann ich ja keine angaben von positiver semidifinitheit machen..

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Online-Nachhilfe in Mathematik
Neue Frage
Prime-O

Prime-O aktiv_icon

21:10 Uhr, 24.06.2019

Antworten
wobei darf ich sagen, dass alle 3 x 3 Untermatrizen positiv semidefinit sein müssen?
Dann kann ich diese mit den Zeilen und Spalten i, i+1, i+2 (anstatt j) wählen und erhalten dann immer eine Matrix der Form: (11x111x11).
Und über diese Matrix kann ich die Aussage treffen, dass x = 1 sein muss, damit sie positiv semidefinit ist.
Antwort
HAL9000

HAL9000

21:25 Uhr, 24.06.2019

Antworten
Ich würde es über Vollständige Induktion beweisen, und zwar gleich auch für komplexe (dann hermitesche) positiv semidefinite Matrizen.

Induktionsanfang k=3 hast du oben ja erledigt. Für hermitesche Matrizen ist die Determinante dann allerdings -(1-x)(1-x)=-1-x2.

Im Induktionsschritt kk+1 würde ich die Induktionsvoraussetzung sowohl für die k×k-Hauptuntermatrix Zeile/Spalte 1k als auch die k×k-Hauptuntermatrix Zeile/Spalte 2(k+1) anwenden. Im Ergebnis hast du eine "Fast"-1-Matrix, nur der unterste linke und oberste rechte Eintrag sind noch offen, der Hermite-Eigenschaft der Matrix wegen sind das die Werte x bzw. x.


EDIT: Hmm, da ist noch eine Lücke im Beweis, muss nochmal nachdenken.

EDIT2: Ach klar, wir können ja auch einen Hauptminor der Ordnung 3 basteln aus erster, zweiter sowie (k+1)-ter Spalte bzw. Zeile, und aus dessen geforderter positiver Semidefinitheit folgt dann zusammen mit dem Induktionsanfang auch x=x=1, und der Induktionsschritt ist komplett.

Prime-O

Prime-O aktiv_icon

12:07 Uhr, 25.06.2019

Antworten
Die Eigenschaft der hermiteschen psd brauche ich jetzt nicht unbedingt, allerdings weiß ich nicht so ganz was ich die Induktion zeigen soll. Vorne angefangen:

IA: k=3: det (11x111x11) = -(1-x)2 x=1. (So weit so gut)

IV: Aussage gelte für k=n. D.h. dann ja, dass die Matrix mit Zeilen und Spalten, 1, 2 bis n so aussieht: (11..111..1....11..1). (So weit alles richtig?)

IS: k=n+1 (Hier weiß ich nicht so richtig, wie ich das aufschreiben soll).
Meine 1, 2, n und n+1 Matrix ist von der Form (11..1x11..1x.....11..11xx..11). (Bisschen ungenau dargestellt, da in der letzten Zeile/Spalte n-1 mal x stehen muss und keine 1en).
Die Frage ist was müsste ich jetzt machen? n-1 3x3 Minoren 'ausrechnen'?
Die sehen ja alle so aus: (11x111x11). Und von denen weiß ich, dass die nur positiv semidefinit sein können, wenn x=1 ist.





Antwort
HAL9000

HAL9000

10:08 Uhr, 26.06.2019

Antworten
Ich habe nicht den Eindruck, dass du meinen Beitrag richtig durchgelesen hast:

> Im Induktionsschritt kk+1 würde ich die Induktionsvoraussetzung [...] als auch die k×k-Hauptuntermatrix Zeile/Spalte 2(k+1) anwenden.

Den Teil hast du offenbar komplett ignoriert: Der bewirkt nämlich, dass auch in der letzten Zeile und letzten Spalte nur Einsen auftreten - mit Ausnahme der beiden Elemente ganz links unten sowie ganz rechts oben. Für die ist dann noch der dritte Teil zuständig.

Frage beantwortet
Prime-O

Prime-O aktiv_icon

11:55 Uhr, 27.06.2019

Antworten
Alles klar, vielen Dank.
War nur ein bisschen warm und hab da etwas durcheinander geworfen, tut mir leid.