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endliche Gruppe, Ordnung
Universität / Fachhochschule
Gruppen
Tags: Gruppen, Ordnung
 
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Guten Abend, ich sitze gerade an folgender Aufgabe: Sei eine Gruppe mit für ein . Zeigen Sie, dass ein Element mit existiert. Ich habe mir dazu folgendes gedacht. Es ist ja klar, dass das neutral Element die Ordnung hat. Ich betrachte also . Dies sind dann Elemente die ich betrachten muss. Nun hat ist weiterhin eine Gruppe. Daher existiert für alle ein mit gg^-1}=e Das bedeutet aber auch, dass 1 Element in Selbstinvers sein muss. Also gg=e und somit Ordnung 2 hat. Das einzige Problem was ich jetzt noch sehe ist, dass nicht ausgeschossen ist, dass es mehrere selbstinverse Elemente in gibt. Das sollte jedoch nicht der Fall sein, es kann immer nur ein selbstinverses geben. Wäre der Ansatz in Ordnung? Wie könnte ich nun weitermachen? Daaaanke. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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"Das sollte jedoch nicht der Fall sein, es kann immer nur ein selbstinverses geben." Wer hat das gesagt? In Mathematik bedeutet "ein" normalerweise "mindestens ein" und nicht "genau ein". Es gibt sehr wohl Gruppen von der Ordnung mit mehreren Elementen der Ordnung 2, z.B. . Sonst ist Deine Argumentation leider nicht stichhaltig, denn die Abbildung könnte rein theoretisch einfach Elemente im Zyklus verschieben, nach dem Motto . |
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Wo du recht hast hast du recht. Ist mein Ansatz denn komplett unbrauchbar, oder kann man das noch retten? |
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Ich würde sagen, nicht zu retten. Aber es ist Betrachtungssache, denn der Ansatz, der zum Erfolgt führt, ist nicht sehr weit von Deinem. Ich meine den folgenden Ansatz: definiere Äquivalenzrelation <=> oder und betrachte die Äquivalenzklassen. |
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Trickreich. Meinst du ich soll eine Äquivalenzrelation so definieren, oder zwei. Also und |
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Das ist eine Relation. |
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Ok... In dieser Äquivalenzrelation stehen alle Elemente in Relation welche entweder gleich sind, oder zueinander Invers. Doch wie betrachte ich nun die verschiedenen Äquivalenzklassen? Dazu müsste ich ja wissen welche Elemente der Gruppe alle zueinander in Relation stehen. |
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Die Idee ist, dass die ganze Gruppe in die Äquivalenzklassen zerfällt, das ist einfach die Eigenschaft der Äquivalenzrelationen. Außerdem ist eine Klasse für sich, denn kein anderes Element ist zu äquivalent. Außerdem bilden alle "selbstinverse" Elemente auch einelementige Klassen, denn wenn und , dann kann auch nicht gelten. Aber alle anderen Klassen bestehen aus gerader Anzahl von Elementen, denn mit ist auch in derselben Klasse. Daher, wenn es keine "selbtsinverse" Elemente geben würde, würde aus ungerader Anzahl der Elemente bestehen ("gerade" Klassen plus ). Also muss es sie geben, zumindest eins. |
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Stark. Wie kommt man nur auf sowas? :-) |
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Hallo, ich finde schon, dass dein Zugang ausreicht. Formalisierung tut halt noch Not, aber reichen tut's bestimmt. Betrachte einfach die Menge . Leicht zeigt man durch Induktion, dass gerade ist. Dann betrachte , wie du ja im Prinzip vorschlägst. Einzig der Nachweis, dass gerade ist, sollte formalisiert werden. Mfg Michael |
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Keine Ahnung, ich habe den Beweis nicht erfunden. Aber Äquivalenzrelation ist ein oft verwendetes Mittel in der Gruppentheorie, daher kann man schon auf die Idee kommen. |
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@DrBoogie: Danke für die Hilfe. Du bist und bleibst der Arzt meines Vertrauens. @michaL: Danke, das gibt mir Hoffnung. Schönen Abend noch. |
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