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endliche Körpererweiterung ungeraden Grades

Universität / Fachhochschule

Körper

Tags: Körper, Körpererweiterung

tomy84

09:44 Uhr, 16.07.2011

Hallo,
bräuchte mal wieder euere Hilfe:
Sei

K (x)

über

K

eine endliche Körpererweiterung ungeraden Grades. Zeige

K (x) = K (x^{2})

.
Wie geht das, bzw wie kann ich da ansetzen.

1. Ansatz(idee):
Sei

k \in K (x)

dann zeige

k \in K (x^{2})

. Warum?
Sei

\prod {(x_{i} - a_{i})}^{e_{i}}

das Minpol von

k \in K (x)

.
Dann zeige: Es gibt eine Darstellung in

K (x^{2}),

die dieselben (ggf weitere) nullstellen hat. Dazu betrachte

x_{i} - a_{i}

und

x_{i}^{2} - a_{i}^{2} = (x_{i} + a_{i}) \cdot (x_{i} - a_{i})

mit

a_{i}, a_{i}^{2} \in K

gibt es also ein Pol in

K (x^{2})

mit denselben Nullstellen (plus weitere) wie

k

. Damit

k \in K (x^{2})

Nun zeige noch dass für

k \in K (x^{2})

auch ein Pol in

K (x)

existiert mit Nullstellen wie

k

k = \prod {(x_{i}^{2} - a_{i})}^{e_{i}} = \prod {((x_{i} - \sqrt{a_{i}}) (x_{i} + \sqrt{a_{i}}))}^{e_{i}} = \prod {(x_{i} - \sqrt{a_{i}})}^{e_{i}} \cdot {(x_{i} + \sqrt{a_{i}})}^{e_{i}}

Mit

\sqrt{a_{i}} \in K

wären wir damit fertig. Aber warum ist das in K.
Nun brauch ich Hilfe: stimmt das so??? Wo geht denn da mit ein, dass der grad ungerade sein muss?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Raummessung

michaL aktiv_icon

13:31 Uhr, 16.07.2011

Hallo,

vielleicht klappt der von dir eingeschlagene Weg. Ich möchte dir aber einen anderen (kürzeren, klareren) vorschlagen.

Zunächst nennen wir die adjungierte Variable mal

a

und nicht mehr

x

, weil die später noch im entsprechenden Polynomring gebraucht wird.

Also, Voraussetzungen:

K (a) : K

sei eindliche Körpererweiterung von ungeradem Grad.

Zu beweisen:

K (a^{2}) = K (a)

Erst einmal konstatieren wir, dass mit

a \in K (a)

auch

a^{2} \in K (a)

gilt, woraus

K (a^{2}) \subseteq K (a)

folgt.

Nun betrachte den Grad der Körpererweiterung

K (a) : K (a^{2})

. Kennst du ein normiertes Polynom in

K (a^{2})

, dessen eine Nullstelle gerade

a

ist? Besonders hoch ist der Grad des Polynoms nicht. Warum kann das aber nicht das Minimalpolynom von

a

über

K (a^{2})

sein?

Klar, worauf der Beweis hinausläuft?

Mfg Michael

tomy84

10:23 Uhr, 17.07.2011

hallo,

es tut mir Leid, aber ich verstehe noch nicht ganz worauf du hinaus willst.

Wie sieht das normierte Polynom in

K (a^{2})

mit Nullstelle a aus?

Na ein Polynom

f \in K (a^{2})

hat irgendwie die Form

{(a^{2})}^{n} + k_{n - 1} \cdot {(a^{2})}^{n - 1} + . .

+ k_{0}

soll das eine Nullstelle in a haben, gilt

a^{n} + . . + k_{0} = 0

Also wo will ich hin: ich möchte doch jetzt zeigen, dass

K (a) : K (a^{2}) = 1

ist oder?
Denn dann wäre doch

K (a) = K (a^{2})

Also hätte das Min.polynom von a Grad

\geq 2

über

K (a^{2}),

hätten wir hier eine echte Erweiterung vorliegen.

Wieso kann das nicht sein? Ich vermute, ich hab das Polynom falsch aufgestellt oder die Bedingung "a ist Nullstelle" falsch eingesetzt?

Gruß und danke für die Hilfe bereits an dieser Stelle,
tomy

michaL aktiv_icon

10:08 Uhr, 18.07.2011

Hallo,

ok, vielleicht hab ich mich unglücklich ausgedrückt. Gemeint war ein Polynom über dem Körper

K (a^{2})

mit Nullstelle

a

. Das ist so einfach, das hätte ich auch schreiben können:

x^{2} - a^{2}

war gemeint.

Das kann aber nicht das Minimalpolynom von

a

über

K (a^{2})

sein, weil sonst ...

Mfg Michael

tomy84

11:36 Uhr, 18.07.2011

Hallo,

also erst mal danke, auch für den Tipp bei der anderen Frage.

Da ich das Ergebnis heute Vormittag gebraucht habe, hab ich bereits das MinPol versucht rauszufinden (und genauso wie das von dir angegebene vermutet)

Mir erschien das nur etwas zu einfach ;-)

Tja dann ist der Rest auch recht schnell klar gewesen, dann verwendet man den Gradsatz,

also wenn ich da einen ungeraden Grad herausbringen soll, kann kein gerader Teiler drin liegen.

Danke

tomy84

michaL aktiv_icon

11:45 Uhr, 18.07.2011

Hallo,

tut mir leid, war nicht ganz auf der Höhe in den letzten Tagen. Aber der skizzierte Weg passt. Wichtig ist doch vor allem das Verständnis!

Mfg Michael

904545

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