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endliche abelsche Gruppe Schreibweise

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Gruppen

Tags: Gruppen

leoo17 aktiv_icon

13:12 Uhr, 07.11.2019

Guten Tag

Ich hoffe, ihr könnt mir irgendwie helfen..

Aufgabe:

Beweise, dass jede endliche, abelsche Gruppe

G

geschrieben werden kann als

G

≅ (ℤ/p1^k1ℤ)

x

(ℤ/p2^k2ℤ)

x . .

x

(ℤ/pr^krℤ), wo p1,p2,..,pr Primzahlen sind und k1,k2,...,kr ∈ ℤ≥0.

Vielen Dank für eure Antworten.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

ermanus aktiv_icon

13:21 Uhr, 07.11.2019

Darfst du die Sylow-Sätze kennen?

leoo17 aktiv_icon

13:25 Uhr, 07.11.2019

Nein leider nicht...

leoo17 aktiv_icon

16:33 Uhr, 08.11.2019

Ich habe nochmals nachgefragt und man darf es trotzdem kennen.

ermanus aktiv_icon

23:20 Uhr, 08.11.2019

Hallo,
hier zumindest schon mal ein Teil der Behauptung, und zwar
ohne Sylow-Sätze.
Sei die Primzahl

p

ein Teiler von

∣ G ∣

. Dann sei

G (p)

die Menge aller

x \in G

, deren Ordnung eine

p

-Potenz ist. Du kannst leicht zeigen,
dass diese Menge eine Untergruppe von

G

ist.
Sind nun

p_{1}, \dots, p_{n}

die verschiedenen Primteiler von

∣ G ∣

und sei

G

als
additive Gruppe geschrieben, dann wollen wir zeigen,
dass

f : G (p_{1}) \times \dots \times G (p_{n}) \to G, (a_{1}, \dots, a_{n}) \mapsto a_{1} + \dots + a_{n}

ein Isomorphismus ist.
Da die Abbildung offenbar ein surjektiver Gruppenhomomorphismus
ist, reicht es zu zeigen, dass

\ker (f) = {(0, \dots, 0)}

ist.
Wir müssen dazu z.B. zeigen, dass

a_{1} + \dots + a_{n} = 0 \Rightarrow a_{1} = 0

gilt und ebenso

a_{2} = 0, \dots, a_{n} = 0

.

Sei also

a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} = 0

und

p_{i}^{m_{i}} = ∣ G (p_{i}) ∣

für

i = 1, \dots, n

,
dann ist

p_{2}^{m_{2}} \dots p_{n}^{m_{n}} (a_{2} + \dots + a_{n}) = 0

und ebenso

p_{2}^{m_{2}} \dots p_{n}^{m_{n}} \cdot a_{1} = 0 .

Da nun die Ordnung von

a_{1}

p_{2}^{m_{2}} \dots p_{n}^{m_{n}}

teilerfremd ist, folgt

a_{1} = 0

.
Auf analoge Weise bekommt man

a_{2} = 0, \dots, a_{n} = 0

, d.h.

f

ist injektiv.

Vielleicht kommst du damit schon mal weiter. Du müsstest jetzt
zeigen, dass jedes

G (p)

sich als Produkt zyklischer Gruppen schreiben lässt.

Gruß ermanus

leoo17 aktiv_icon

21:27 Uhr, 12.11.2019

Und wie macht man das genau?

ermanus aktiv_icon

22:25 Uhr, 12.11.2019

Hallo,
wenn man nun solch ein

G (p)

weiter zerlegen will,
sucht man darin ein Element auf, dessen Ordnung

p^{n}

unter den
Elementordnungen maximal ist. Dies liefert dann eine zyklische Untergruppe

Z_{p^{n}}

. Nun habe ich mir weiterüberlegt, dass man nun zeigen müsste,
dass es dann eine weitere Untergruppe

G_{1} (p)

von

G (p)

gibt, so dass

G (p) ≅ Z_{p^{n}} \times G_{1} (p)

ist.
Dieser Beweis ist aber sehr aufwendig, so dass ich eher glaube,
dass ihr wohl insgesamt einen anderen Weg nehmen sollt, um die
Aufgabe anzugehen.

Daher nun meine Frage: Kennt ihr den sog. Hauptsatz für endliche
abelsche Gruppen, der bsagt, dass es endlich viele nat. Zahlen

m_{1}, \dots, m_{r}

gibt, so dass

G ≅ Z_{m_{1}} \times Z_{m_{2}} \times \dots \times Z_{m_{r}}

ist, wobei gilt

m_{1} ∣ m_{2} ∣ \dots ∣ m_{r}

?

Gruß ermanus

leoo17 aktiv_icon

07:03 Uhr, 13.11.2019

Jaa diesen grundsatz kennen wir.

leoo17 aktiv_icon

07:03 Uhr, 13.11.2019

Jaa diesen grundsatz kennen wir.

ermanus aktiv_icon

08:53 Uhr, 13.11.2019

Das ist prima!
Sind

r, s

nat. Zahlen

> 1

mit ggT(

r, s) = 1

, dann hat man wegen
des chinesischen Restsatzes

Z_{r \cdot s} ≅ Z_{r} \times Z_{s}

.
Seien

p_{1}, \dots, p_{k}

die verschiedenen Primteiler von

∣ G ∣

,
dann haben die im Hauptsatz auftauchenden

m_{i}

Primfaktorzerlegungen
der Form

m_{i} = p_{1}^{n_{i 1}} \dots p_{k}^{n_{i k}}

, so dass die dort genannten
zyklischen Faktoren

Z_{m_{i}}

die Zerlegung

Z_{m_{i}} ≅ Z_{p_{1}^{n_{i 1}}} \times \dots \times Z_{p_{k}^{n_{i 1 k}}}

besitzen, wobei im Falle

n_{i j} = 0

der zugehörige Faktor weggelassen wird.

Gruß ermanus

leoo17 aktiv_icon

10:02 Uhr, 13.11.2019

Du bist mein Held!! Vielen lieben Dank für deine Hilfe!!

leoo17 aktiv_icon

10:02 Uhr, 13.11.2019

Du bist mein Held!! Vielen lieben Dank für deine Hilfe!!

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