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endliche abelsche Gruppe Schreibweise

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Tags: Gruppen

 
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leoo17

leoo17 aktiv_icon

13:12 Uhr, 07.11.2019

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Guten Tag

Ich hoffe, ihr könnt mir irgendwie helfen..

Aufgabe:

Beweise, dass jede endliche, abelsche Gruppe G geschrieben werden kann als G ≅ (ℤ/p1^k1ℤ) x (ℤ/p2^k2ℤ) x... x (ℤ/pr^krℤ), wo p1,p2,..,pr Primzahlen sind und k1,k2,...,kr ∈ ℤ≥0.

Vielen Dank für eure Antworten.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

13:21 Uhr, 07.11.2019

Antworten
Darfst du die Sylow-Sätze kennen?
leoo17

leoo17 aktiv_icon

13:25 Uhr, 07.11.2019

Antworten
Nein leider nicht...
leoo17

leoo17 aktiv_icon

16:33 Uhr, 08.11.2019

Antworten
Ich habe nochmals nachgefragt und man darf es trotzdem kennen.
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

23:20 Uhr, 08.11.2019

Antworten
Hallo,
hier zumindest schon mal ein Teil der Behauptung, und zwar
ohne Sylow-Sätze.
Sei die Primzahl p ein Teiler von G. Dann sei G(p) die Menge aller
xG, deren Ordnung eine p-Potenz ist. Du kannst leicht zeigen,
dass diese Menge eine Untergruppe von G ist.
Sind nun p1,,pn die verschiedenen Primteiler von G und sei G als
additive Gruppe geschrieben, dann wollen wir zeigen,
dass

f:G(p1)××G(pn)G,(a1,,an)a1++an

ein Isomorphismus ist.
Da die Abbildung offenbar ein surjektiver Gruppenhomomorphismus
ist, reicht es zu zeigen, dass ker(f)={(0,,0)} ist.
Wir müssen dazu z.B. zeigen, dass a1++an=0a1=0
gilt und ebenso a2=0,,an=0.

Sei also a1+a2++an=0 und pimi=G(pi) für i=1,,n,
dann ist p2m2pnmn(a2++an)=0 und ebenso p2m2pnmna1=0.
Da nun die Ordnung von a1 zu p2m2pnmn teilerfremd ist, folgt a1=0.
Auf analoge Weise bekommt man a2=0,,an=0, d.h. f ist injektiv.

Vielleicht kommst du damit schon mal weiter. Du müsstest jetzt
zeigen, dass jedes G(p) sich als Produkt zyklischer Gruppen schreiben lässt.

Gruß ermanus


leoo17

leoo17 aktiv_icon

21:27 Uhr, 12.11.2019

Antworten
Und wie macht man das genau?
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

22:25 Uhr, 12.11.2019

Antworten
Hallo,
wenn man nun solch ein G(p) weiter zerlegen will,
sucht man darin ein Element auf, dessen Ordnung pn unter den
Elementordnungen maximal ist. Dies liefert dann eine zyklische Untergruppe
Zpn. Nun habe ich mir weiterüberlegt, dass man nun zeigen müsste,
dass es dann eine weitere Untergruppe G1(p) von G(p) gibt, so dass
G(p)Zpn×G1(p) ist.
Dieser Beweis ist aber sehr aufwendig, so dass ich eher glaube,
dass ihr wohl insgesamt einen anderen Weg nehmen sollt, um die
Aufgabe anzugehen.

Daher nun meine Frage: Kennt ihr den sog. Hauptsatz für endliche
abelsche Gruppen, der bsagt, dass es endlich viele nat. Zahlen
m1,,mr gibt, so dass GZm1×Zm2××Zmr
ist, wobei gilt m1m2mr ?

Gruß ermanus
leoo17

leoo17 aktiv_icon

07:03 Uhr, 13.11.2019

Antworten
Jaa diesen grundsatz kennen wir.
leoo17

leoo17 aktiv_icon

07:03 Uhr, 13.11.2019

Antworten
Jaa diesen grundsatz kennen wir.
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

08:53 Uhr, 13.11.2019

Antworten
Das ist prima!
Sind r,s nat. Zahlen >1 mit ggT(r,s)=1, dann hat man wegen
des chinesischen Restsatzes ZrsZr×Zs.
Seien p1,,pk die verschiedenen Primteiler von G,
dann haben die im Hauptsatz auftauchenden mi Primfaktorzerlegungen
der Form mi=p1ni1pknik, so dass die dort genannten
zyklischen Faktoren Zmi die Zerlegung

ZmiZp1ni1××Zpkni1k

besitzen, wobei im Falle nij=0 der zugehörige Faktor weggelassen wird.

Gruß ermanus
Frage beantwortet
leoo17

leoo17 aktiv_icon

10:02 Uhr, 13.11.2019

Antworten
Du bist mein Held!! Vielen lieben Dank für deine Hilfe!!
Frage beantwortet
leoo17

leoo17 aktiv_icon

10:02 Uhr, 13.11.2019

Antworten
Du bist mein Held!! Vielen lieben Dank für deine Hilfe!!