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endliche abelsche p-Gruppen

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Jonas190

Jonas190 aktiv_icon

23:51 Uhr, 22.02.2021

Antworten
Guten Abend

In meinem Lehrbuch zur Algebra (Karpfinger/Meyberg) gibt es im 10. Kapitel ein Korollar zur Eindeutigkeit der Zerlegung von endlichen abelschen p-Gruppen in das direkte Produkt zyklischer Gruppen.

Der Beweis des Korollars ist zwar nur kurz, aber ich verstehe ihn nur teilweise. Ich habe den Beweis als pdf angehängt.

Formal kann ich den Beweis bis zum Nachweis der Festlegung von r durch G nachvollziehen. Aber schon hier ist mir der eigentliche Sinn dieser Vorangehensweise unklar. Denn wir haben in den ersten Zeilen ja schon die Zerlegung in r Elemente vorausgesetzt.

Ausserdem ist mir unklar, wie in den letzten Zeilen des Beweises die Induktion durchgeführt wird. Da G ja eine p-Gruppe ist, kann die Induktion doch nicht nach der Mächtigkeit von G laufen, sondern nur nach den Potenzen von p, oder?

Ich würde mich freuen, wenn mir jemand helfen könnte.

Wie gesagt, die Details des Beweises befinden sich im Anhang.

Gruss,
Jonas

gruppen

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

08:53 Uhr, 23.02.2021

Antworten
UPDATE. Der erste Teil war falsch von mir.

"Ausserdem ist mir unklar, wie in den letzten Zeilen des Beweises die Induktion durchgeführt wird. Da G ja eine p-Gruppe ist, kann die Induktion doch nicht nach der Mächtigkeit von G laufen"

Doch. Es ist Induktion nach Mächtigkeit von G, was dort auch klar steht.

Aber der Beweis ist aus meiner Sicht gar keiner, denn es wird praktisch nichts erklärt. Ich empfehle daher richtige Beweise, z.B. hier:

http//math.colgate.edu/math320/dlantz/extras/FiniteAbelianGroups.pdf
oder hier
http//torus.math.uiuc.edu/jms/m317/handouts/finabel.pdf
Frage beantwortet
Jonas190

Jonas190 aktiv_icon

12:45 Uhr, 23.02.2021

Antworten
Hallo DrBoggie

Vielen Dank für deine Antwort!

Insbesondere der zweite Link hat mir sehr weitergeholfen. Ich hatte nach Beweisen auch im Englischen gesucht, bin aber auf keine gestossen (womöglich hatte ich die falschen Stichworte eingegeben).

Die Existenz einer solchen Zerlegung wird im Karpfinger/Meyberg (übrigens ein ganz hervorragendes Buch, finde ich) im Abschnitt vorher bereits bewiesen und es geht in dem Korollar, auf das ich mich beziehe, dann nur noch um die Eindeutigkeit.

Der Beweis in dem 2. Link, den du mir geschickt hast, demonstriert, dass sich diese Eindeutigkeit sehr leicht zeigen lässt und ich muss mir dann darüber nicht mehr den Kopf zerbrechen.

Herzlichen Dank nochmal.

Gruss
Jonas