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ergänzung bernoullische ungleichung
Universität / Fachhochschule
Tags: Analysis
 
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anonymous 16:28 Uhr, 28.06.2004  |
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Ich hab folgendes Problem . Beweisen sie folgende Ergänzung zur Bernoullischen Ungleichung.Für jedes x element R mit -1 <= x <= 0 und alle n element N gilt:Ich hab folgendes Problem . Beweisen sie folgende Ergänzung zur Bernoullischen Ungleichung.Für jedes x element R mit -1 <= x <= 0 und alle n element N gilt (1+x)^n <= 1+nx+n(n-1)x^2/2 |
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Hallo! Man kann etwas stärkere Ungleichung beweisen, und zwar diese: (1 + x)^n <= 1 + nx, wo -1 <= x <= 0, n € N. Warum? Weil n(n - 1).(x^2)/2 immer positiv ist. Den Beweis bekommst du von mir sp\ater. Jetyt habe ich leider keine Yeit. MfG Marian |
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Hallo Suse, Marian hat vollkommen Recht und dir im Prinzip den Beweis schon geliefert. Aus deiner Überschrift entnehme ich, dass dir die Bernoulli-Ungleichung bereits bekannt ist: Es gilt für alle n aus IN und für alle x aus IR mit x >= -1: (1+x)^n >= 1+nx ( Beweis: Induktion: Für n=1 ist die Behauptung klar. n -> n+1: (1+x)^(n+1)=[(1+x)^n]*(1+x) (Induktionsvoraussetzung) >= (1+nx)(1+x)=1+nx+x+nx² (beachte: nx² >= 0) >= 1+nx+x=1+(n+1)x ) Also gilt insbesondere für alle -1 <= x <= 0: (I) (1+x)^n <= 1+nx Weil nun, wie Marian richtig sagt, für alle n aus IN={1,2,3,4,...} auch gilt: (II) n(n - 1)x²/2 >=0 (da n >= 1 >= 0 (wegen n aus IN); also auch n-1 >= 0 und weil stets x² >= 0) folgt aus (I) und (II) für alle -1 <= x <= 0: (1+x)^n <= 1+nx <= 1+nx+n(n - 1)x²/2 also die Behauptung. PS: Wenn du dir den Beweis noch einmal anguckst, dann wirst du feststellen: Die Behauptung gilt sogar für alle n aus IN und für alle x aus IR mit x >= -1 Liebe Grüße Marcel |
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Hallo Marcel und alle, die an diesem Problem interessiert sind. Leider habe ich wirklich überhaupt keine Zeit, mein Beweis zu publizieren. Meine Idee: Ich wollte eine Funktion bilden, und dann ihre Extrema finden. Man stellt dann fest, dass diese Funktion ein lokales/globales Minimum besitzt. So wird dann der Beweis fertig. Marcel hat es mit Induktion gemacht; das ist natürlich auch der Weg. Bemerken kann man, dass der Ausdruck rechts stehend wie ein Taylorpolynom aussieht. So könnte man noch etwas mit Residuum des Taylorpolynoms versuchen, aber dazu habe ich keine Zeit. @Marcel: Sorry dass ich nicht geantwortet habe (auf dein Mail); leider habe ich nur zwei Hände. Jederfällig hab´ die Prüfung bestanden. Mit freundlichen Grüßen Marian |
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Hallo Marian, > @Marcel: > Sorry dass ich nicht geantwortet habe (auf dein Mail); leider habe ich nur > zwei Hände. Jederfällig hab´ die Prüfung bestanden. Dass du nicht geantwortet hast, ist kein Problem. Du sagtest ja bereits, dass du im Stress bist! Herzlichen Glückwunsch zu deiner bestandenen Prüfung! :-) Viele Grüße Marcel |
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