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ermittlung x y koordinaten (Triangulation)

Sonstiges

Tags: ermitteln, Laufzeit, laufzeitdifferenze, Position, Schallgeschwindikeit, Triangulation

alex-hannah aktiv_icon

13:40 Uhr, 10.10.2008

Hallo ich habe vor Einigerzeit ein Thema erstellt !
Thema:
ermittlung der

x y

position
ermitteln, Laufzeit, Position, Schallgeschwindikeit

zitat:
ich möchte auf einer Geometrischen Fläche die Position eines Objektes errechnen!

Auf dieser Geometrischen Fläche welche

2 m

mal

1,5 m

sein soll, will ich 4 sensoren anbringen, diese messen die laufzeit des Schalls........

welches mich aber nicht weiter gebracht hat da ich mit den Sensoren die Laufzeit nicht messen kann, da ich keinen Startpunkt habe um die laufzeit zu messen!
Mit Startpunkt meine ich wann die messung anfängt bis der Schall dann an den jeweiligen Sensoren angekommen ist!

Nun meine Frage
Kann ich nicht irgendwie durch die laufzeitdifferenze des Schalls zu den Sensoren die Position errechnen ?
also ich meine mit Laufzeitdifferenze den weg den der schall von Sensor 1 zuSensor 2 und zu Sensor 3 braucht!

Danke für eure Hilfe

LG Alex

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

m-at-he

23:14 Uhr, 10.10.2008

Hallo,

ich weiß natürlich nicht, wie die Sensoren verteilt sind, aber sinnvollerweise würde ich diese an den 4 Ecken des Rechtecks plazieren. Wenn man über dieses Rechteck ein Koordinatensystem legt, dessen Ursprung die linke untere Ecke ist, die längere Kante liegt auf der x-Achse, dir kürzere auf der y-Achse, dann haben die Sensoren die Koordinaten:

Sensor

1 : (0; 0)

Sensor

2 : (2; 0)

Sensor

3 : (2; 1,5)

Sensor

4 : (0; 1,5)

Der Schallsender befindet sich im Punkt

(x; y)

. Dieser Punkt liegt auf einem Kreis um den Sensor

1,

dessen Gleichung

x^{2} + y^{2} = r^{2}

ist, wobei

r

natürlich der Abstand des Schallsenders vom Sensor 1 ist.

Die vorzeichenbewertete Zeitdifferenz zwischen Sensor 2 und Sensor 1 (also gemessene Zeit vom Sensor 2 minus der gemessenen Zeit vom Sensor

1

) gibt Dir mitsamt der Schallgeschwindigkeit eine ebenfalls vorzeichenbewertete Längendifferenz

r_{2}

. Der Schallsender liegt also auf einem Kreis um den Sensor

2,

dessen Gleichung

{(x - 2)}^{2} + y^{2} = {(r + r_{2})}^{2}

ist. Das ergibt umgestellt:

x^{2} - 4 \cdot x + 4 + y^{2} = r^{2} + 2 \cdot r \cdot r_{2} + r_{2}^{2}

x^{2} + y^{2} - 4 \cdot x + 4 = r^{2} + 2 \cdot r \cdot r_{2} + r_{2}^{2};

hier setzt man die Gleichung des ersten Kreises ein

- 4 \cdot x + 4 = 2 \cdot r \cdot r_{2} + r_{2}^{2}

4 \cdot x = 4 - 2 \cdot r \cdot r_{2} - r_{2}^{2}

x = 1 - \frac{1}{2} \cdot r \cdot r_{2} - \frac{1}{4} \cdot r_{2}^{2}

Die vorzeichenbewertete Zeitdifferenz zwischen Sensor 4 und Sensor 1 (also
gemessene Zeit vom Sensor 4 minus der gemessenen Zeit vom Sensor

1)

gibt
Dir mitsamt der Schallgeschwindigkeit eine ebenfalls vorzeichenbewertete
Längendifferenz

r_{4}

. Der Schallsender liegt also auf einem Kreis um den
Sensor

4,

dessen Gleichung

x^{2} + {(y - 1,5)}^{2} = {(r + r_{4})}^{2}

ist. Das ergibt umgestellt:

x^{2} + y^{2} - 3 \cdot y + 2,25 = r^{2} + 2 \cdot r \cdot r_{4} + r_{4}^{2};

hier setzt man die Gleichung des ersten Kreises ein

- 3 \cdot y + 2,25 = 2 \cdot r \cdot r_{4} + r_{4}^{2}

3 \cdot y = 2,25 - 2 \cdot r \cdot r_{4} - r_{4}^{2}

y = \frac{3}{4} - \frac{2}{3} \cdot r \cdot r_{4} - \frac{1}{3} \cdot r_{4}^{2}

Wenn man dieses

x

und

y

in die erste Gleichung einsetzt, erhält man eine quadratische Gleichung in

r

mit maximal 2 Lösungen. Zu den beiden Lösungen ermittelt man die zugehörigen Werte für

x

und

y

. Wenn nicht von vornherein eine der beiden Lösungen unmöglich ist, ermittelt man mit dem Sensor 3 und dessen Längendifferenz

r_{3}

(analog

r_{2}

und

r_{4}

ermittelt), die eine Lösung von

r,

die als Lösung des Problems in Frage kommt,

d . h

. man setzt die beiden errechneten Tripel

r, x

und

y

ind die Kreisgleichung

{(x - 2)}^{2} + {(y - 1,5)}^{2} = {(r + r_{3})}^{2}

ein und schaut, für welches Tripel die Gleichung bestmöglich erfüllt ist, denn genau wird sie bei Meßwerten nie erfüllt sein.

Sollte es ein anderes vorgegebenes Koordinatensystem geben, kann man mit etwas mehr Aufwand ähnliche Lösungswege finden, ich würde aber diesen einfacheren Weg vorziehen und anschließend eine Koordinatentransformation durchführen. Dazu muß man nur einmalig die Dreh- und die Verschiebmatrix ermitteln.

PS: Wie auch beim letzte Mal der Hinweis: Besser alle vier Ecken als "Ausgangsecke" benutzen und mit den beiden Nachbarecken die Berechnungen durchführen und den "Mittelpunkt" der 4 Ergebnisse als Ergebnis hernehmen!

alex-hannah aktiv_icon

01:39 Uhr, 12.10.2008

Danke für Deine Antwort m-at-he
aber befor ich an die Formeln gehe verstehe ich etwas nicht ganz!
Du schreibst
zitat
(also gemessene Zeit vom Sensor 2 minus der gemessenen Zeit vom Sensor

1)

aber wie messe ich die zeit von Sensor 1
ich habe ja 4 Sensoren und kann ja nur die Zeiten Messen, ab da wo der erste Sensor ein schall empfängt!
als beispiel

Sagen wir die Sensoren haben die koordinaten

Sensor

1 : (0; 0)

Sensor

2 : (2; 0)

Sensor

3 : (2; 1,5)

Sensor

4 : (0; 1,5)

und der schall Sender sendet zb von koordinate

1,1

dann würde der Schall als erstes Sensor 1 erreichen wenn er Sensor 1 erreicht hat fängt meine messung an !
Also erreicht der Schall dann in ms Sensor 2 dann Sensor 3 und dann Sensor 4
jetzt habe ich drei laufzeiten womit ich irgendwie die koordinaten

1,1

erechnen will!

LG ALex

m-at-he

08:04 Uhr, 12.10.2008

Hallo,

Du bist in der Beschreibung Deiner Sensoren "schwammig" gewesen und verlnagst nun Details, wie Du das machen sollst. Für die Zeit gibt es mehrere Möglickeiten:

1. Jeder Sender hat Funkzeit und damit quasi exakte Zeit und gibt die Uhrzeit an, zu dem der Schall eingetroffen ist.

2. Die Sensoren geben ein Signal an ein System weiter, welches die Systemzeit (muß nicht mal Funkzeit sein) für die 4 Zeitpunkte speichert.

3. Jeder Sender bekommt von einer zentralen Stelle zur selben Zeit ein Startsignal (Zeitpunkt Null) und gibt bei eintreffendem Schall den aktuellen Zeitpunkt weiter.

4. Ein zentrales System empfängt das erste Signal und merkt sich zu allen 4 Sensoren, wie die Zeitdifferenz zum ersten Signal war (Differenz Null heißt, der erste gewesen zu sein)

5.

__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}

(bitte hier den für die Sensoren gültigen Weg selber eintragen)

alex-hannah aktiv_icon

22:59 Uhr, 12.10.2008

Hi m-at-he,
ich denke das Punkt 4 der Richtige weg meiner Sensoren beschreibt!

ich nutze ein externes Bord mit einem

Π c

Microprozessor drauf welches 6 analoge eingänge hat !
dort sollen die Zeiten dann gespeichert werden und dann halt die zeitdifferenzen errechnet werden!

Das mit dem Koordinaten würde ich so übernehmen!

Ich bin bei den Mathe Formeln hier wirklich zum teil total überfordert und muss mich in alles reinlesen, da ich nun wirklich kein Mathe experte bin und wirklich nur grundlegendes kann!

LG Alex

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