 |
 |
 |
 |
 |
 |
Startseite » Forum » erzeugendes Element und Gruppenordnung
erzeugendes Element und Gruppenordnung
Universität / Fachhochschule
Gruppen
Tags: Gruppen
 
|
  |
|---|
|
Hi, ich wollte fragen, warum das erzeugende Element einer Gruppe hoch der Gruppenordnung immer das neutrale Element ergibt. MfG Komisch Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
|
 |
|
Hallo, für eine endliche Gruppe G gilt allgemein für alle . Betrachte dazu was für die Ordnung eines Elements gilt (Stichwort Satz von Lagrange). Gruß mafi |
 |
|
Lagrange sagt ja nur, dass die Ordnung der Gruppe immer eine Vielfaches jeder Untergruppe der Gruppe ist. Wie soll mir das helfen? |
|
|
|
Hallo, betrachte doch mal die von einem Element erzeugte Untergruppe von G. Welche Mächtigkeit hat diese Untergruppe wenn G endlich ist? Gruß mafi |
|
|
|
Also muss sie die Mächtigkeit haben. Das hilft allerdings nicht weiter oder zumindest weiß ich nicht wie! |
|
|
|
Hallo, die von einem Element erzeugte Untergruppe U von G besteht gerade aus und es gilt ord(g)=|U| ,d.h. die Mächtigkeit der Gruppe U stimmt mit der Ordnung des Elements g überein (wobei die Ordnung eines Elements definiert ist als ord(g):=min{). Damit gilt dann für alle Gruß mafi |
|
|
|
'tschuldigung, dass ich so lange nicht geantwortet habe (ich war im Urlaub). Also erstmal glaube ich, dass sich ein kleiner Fehler in deine Ausarbeitung eingeschlichen hat - müsste eigentlich sein oder? Und dann versteh ich den Beweis an sich nicht, da du ja Voraussetzt was ich beweisen/zeigen wollte: Oder ich versteh es einfach nicht. Dann würde ich mich freuen, wenn mir jemand erklärt warum es dadurch bewiesen ist, bzw. mir wenigstens sagt, dass der Fehler bei mir liegt. |
|
|
|
Nein, denn du wolltest zeigen und vorausgesetzt hat er nur Da aber nach Lagrange ein Vielfaches von ist, ist deine Aussage sofort klar, wenn man folgendes benutzen darf: Wenn endliche Ordnung hat, dann ist diese gleich der kleinsten natürlichen Zahl für die gilt. Bzw. kann das auch schon eure Definition sein, wir hatten bei uns halt die Ordnung eines Elementes als die Ordnung der von erzeugten Untergruppe definiert und dann den obigen Satz bewiesen. Sicher machen das viele aber auch umgekehrt. |
|
|
|
Was auch immer ich gesagt habe - ich wollte eigentlich folgendes gezeigt bekommen: Sei eine endliche Gruppe, dann ist Das steht in dem Buch nur als gegeben drin also ohne Beweis und ich verstehe nicht, warum gilt. Ich weiß nicht ob es jetzt klar ist, wo ich hänge? |
|
|
|
Dann habt ihr aneinander vorbeigeredet. Ich nehme an ihr habt die Ordnung von dann auch als die Ordnung der von erzeugten Untergruppe definiert. Wie schon gesagt kann man dann sogar beweisen, dass die kleinste natürliche Zahl ist mit falls denn endlich ist. Einen Beweis findest du zum Beispiel hier auf Seite http://reh.math.uni-duesseldorf.de/~bogopolski/pdfs/Dobrikov.pdf |
|
Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
|
1116459
1112022