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euklidischer Vektorraum

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Tags: Vektorraum

 
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pwld117

pwld117 aktiv_icon

22:42 Uhr, 28.12.2020

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Seien V ein euklidischer Vektorraum mit dim(V ) = n ∈ N und f ∈ L(V, V ) schiefadjungiert
Wie kann man zeigen , dass f ≠ 0 genau dann gilt, wenn f nicht diagonalisierbar ist？
Danke

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

23:04 Uhr, 28.12.2020

Antworten
Eigenwerte der schiefsymmetrischen Matrizen sind entweder 0 oder rein imaginär.
Somit kann eine schiefsymmetrische Matrix nur über ℝ diagonalisierbar sein, wenn sie 0 ist.

de.wikipedia.org/wiki/Schiefsymmetrische_Matrix
Antwort
michaL

michaL aktiv_icon

23:16 Uhr, 28.12.2020

Antworten
Hallo,

versuche Kontraposition: f diagonalisierbar ⇔f=0.

Ist nämlich λ ein Eigenwert von f, gilt also f(v)=λv für ein v≠0, so folgt 〈λv;v〉=〈f(v);v〉=schiefadjungiert-〈v;f(v)〉=-〈v;λv〉, d.h. es gilt dann λ〈v;v〉=-λ〈v;v〉, ergo λ〈v;v〉=0⇒v≠0λ=0.

Mfg Michael