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exakte Sequenz

Universität / Fachhochschule

Tags: Injektivität, Sequenz, surjektivität

Florentine1996 aktiv_icon

20:42 Uhr, 06.07.2018

Hallo,
Ich will nachweisen dass folgende Sequenz exakt ist:

0 \to V \to V' \to V'' \to 0

wobei

f : V \to V'

injektiv ist und

g : V' \to V''

surjektiv.
Die " Ränder " sind mir klar,
Es geht um den Nachweis , dass im

f =

ker

g

gilt.
Wie mache ich das?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

korbinian aktiv_icon

20:56 Uhr, 06.07.2018

Hallo,
die Injektivität und Surjektivität der genannten Abbildungen ist äquivalent mit der Exaktheit "an den Rändern". Ohne weitere Vorraussetzungen muss die Sequenz nicht exakt seingruß
korbinian

Florentine1996 aktiv_icon

21:13 Uhr, 06.07.2018

Dann ist es wieder falsch im Skript.
Welche Voraussetzung fehlt denn?

Florentine1996 aktiv_icon

21:16 Uhr, 06.07.2018

Wsl mus im

f =

ker

g

gelten.

korbinian aktiv_icon

21:55 Uhr, 06.07.2018

Das ist die Definition der Exaktheit.

Florentine1996 aktiv_icon

22:03 Uhr, 06.07.2018

Was fehlt denn dann als Voraussetzung?

korbinian aktiv_icon

22:11 Uhr, 06.07.2018

du kannst eine Definition doch nicht beweisen

Florentine1996 aktiv_icon

22:24 Uhr, 06.07.2018

Ich will die Exaktheit obiger Sequenz zeigen.
Di hast gesagt es fehlt eine Voraussetzung
Welche denn?

korbinian aktiv_icon

23:35 Uhr, 06.07.2018

Es gibt viele Sequenzen aus 4 Abbildungen, die bei 0 beginnen und enden, aber "in der Mitte" nicht exakt sind. Soll sie es sein, muss eine zusätzliche Vorraussetzung gegeben sein.
Welche das in deiner Aufgabe ist, kann ich doch nicht wissen.

Florentine1996 aktiv_icon

08:25 Uhr, 07.07.2018

Sagen wir ich habe diese Sequenz, wobei noch gilt im

f =

ker

g :

Dann heißt es.
Da

f

injektiv ist, kann man

V'

mit imf = ker

g

identifizieren und

V

als UR von

V'

auffassen. Warum ist das so?

korbinian aktiv_icon

09:00 Uhr, 07.07.2018

hallo,
leider hast du nicht verraten, um welche Gebilde es sich bei V,V´,V´´ handelt. Ich vermute mal um Vektorräume.
Zu deiner Frage. Es hat eigentlich nichts mit der Sequenz zu tun. Allgemein gilt doch: Ist eine lineare Abbildung zwischen Vektorräumen injektiv, so ist der Urbildvektorraum isomorph zu seinem Bild. Das Bild ist ein Untervektorraum des Zielvektorraums. Isomorphe Räume "identifiziert" man. In diesem Sinne ist das Bild ein Untervektorraum von V´.
gruß
korbinian

Florentine1996 aktiv_icon

09:08 Uhr, 07.07.2018

Tut mir leid. Es sind VR.
Aso das habe ich verstanden.
Also

d . h

ich habe

V ≅ i m f = k e r g

Damit gilt

\frac{V'}{i m f = k e r g} ≅ V''

oder?

D . h

ich könnte in der Sequenz

V''

mit V'/(ker

g)

ersetzen?

korbinian aktiv_icon

09:34 Uhr, 07.07.2018

Ja, aber nur weil g surjektiv ist.

Florentine1996 aktiv_icon

10:00 Uhr, 07.07.2018

Danke:-)
Dann gibt es ja die Dimesnionsformel

\sum_{i = 1}^{n} dim V_{i} = 0

zu folgender exakten Sequenz der Länge

n

0 \to V_{1} \to V_{2} ... . \to V_{n} \to 0

wobei

: f_{1} : V_{1} \to V_{2}

und

f_{n - 1} : V_{n - 1} \to V_{n}

Bew. über Induktion nach

n

.
Für

n = 1 :

ist

dim V_{1} = 0

also passt das.
Angenommen die Formel gilt für

n' < n

.
Dann wird wie vorher argumentiert:

f_{1}

injektiv:

V_{1} ≅

f_{1} =

ker

f_{2}

Die Sequenz der Länge

n - 1

ist dann exakt:

0 \to (V_{2}

)/(ker

f_{2}) \to V_{3} ... \to V_{n} \to 0

Wo ist dann

V_{1}

hin?
Kannst du mir das erklären?

ermanus aktiv_icon

17:51 Uhr, 07.07.2018

Hallo,
die Dimensionsformel lautet

\sum_{i = 1}^{n} (- 1)^{i} \dim (V_{i}) = 0

,
sonst gibt das Ganze doch gar keinen Sinn :(

Florentine1996 aktiv_icon

17:57 Uhr, 07.07.2018

Ja das haben ich vergessen.
Tut mir leid.
Verstehst du dann den Beweis. Wo kommt das

V_{1}

hin. Kannst du mir das erklären?

Florentine1996 aktiv_icon

18:49 Uhr, 07.07.2018

Ich überlege schon die ganze Zeit.
Wegen der Injektivität von

f_{1}

ist

V_{1} ≅

f_{1}

Wegen der Exaktheit ist dann im

f_{1} =

ker

f_{2}

Man kann also wie vorher

V_{1}

mit im

f_{1} =

ker

f_{2}

identifizieren.
Wie geht es dann weiter?

korbinian aktiv_icon

00:33 Uhr, 08.07.2018

Hallo,
ich glaube du überlegst viel zu kompliziert.
Etwas schlichter formuliert, sollen wir zeigen: dim V´=dim V + dim V´´ .
Wende einfach die "übliche" Dimensionsformel für lineare Abbildungen an.
gruß
korbinian

Florentine1996 aktiv_icon

03:58 Uhr, 08.07.2018

Mit der Dimensionsformel ist der Beweis klar. Aber diese soll ja erst folgen. Deshalb wollte ich den angegebenen Beweis verstehen?

korbinian aktiv_icon

08:12 Uhr, 08.07.2018

Allgemein gilt doch: sind U und W Vektorräume, U endlichdimensional

h : U \to W

eine lineare Abbildung, so ist dim U = dim im(h) + dim ker(h).
Diese Formel soll doch nicht bewiesen werden. Wende sie auf den passenden Vektoraum und die passende Abbildung der Sequenz an.

Florentine1996 aktiv_icon

08:24 Uhr, 08.07.2018

Ich weis dass es mit der Dimensionsformel geht, aber ich würde den zitierten Beweis aus der Vorlesung verstehen.

korbinian aktiv_icon

09:02 Uhr, 08.07.2018

Den kenne ich leider nicht; den musst du uns schon verraten.

Florentine1996 aktiv_icon

09:06 Uhr, 08.07.2018

Habe ich doch schon geschrieben am

7.7

10.00

uhr?

korbinian aktiv_icon

12:12 Uhr, 08.07.2018

Entschuldige bitte, hab ich übersehen.

korbinian aktiv_icon

14:40 Uhr, 08.07.2018

Zu deiner Frage, wo

V_{1}

geblieben ist.
Um die Induktionsannahme auf die Sequenz der Länge n anwenden zu können, muss man sie doch auf eine Sequenz der Länge n-1 "zurückführen". Dazu "entfernt"man

V_{1}

und

V_{2}

und ersetzt sie durch den Quotienten.

Florentine1996 aktiv_icon

15:24 Uhr, 08.07.2018

Kein Problem:-)
Aso ok. Also wird dann

V_{1}

und

V_{2}

gleichzeitig ersetzt durch den Quotienten?

korbinian aktiv_icon

17:59 Uhr, 08.07.2018

Ja! Wir dürfen hoffentlich den Homomorphiesatz verwenden. Dann wissen wir, dass es eine injektive lineare Abbildung

g : V_{2} / k e r f_{2} \to V_{3}

gibt mit

i m

g = i m

f_{2}

.
Da g injektiv ist können wir vor

g : V_{2} / k e r f_{2}

noch die Nullabbildung schreiben und erhalten so die exakte Sequenz

0 \to V_{2} / k e r f_{2} \to V_{3} \to . . . . . V_{n} \to 0

der Länge n-1.
Auf sie wenden wir nun die Induktionsannahme an und erhalten:

d i m V_{2} / k e r f_{2} - d i m V_{3} + d i m V_{4} . . . . . d i m V_{n} = 0

d i m V_{2} / k e r f_{2} = d i m V_{2} - d i m k e r f_{2} = d i m V_{2} - d i m (i m f_{1}) = d i m V_{2} - d i m V_{1}

ist, haben wir die Behauptung für die exakte Sequenz der Länge n gezeigt. q.e.d.

Florentine1996 aktiv_icon

21:39 Uhr, 09.07.2018

Ich verstehe noch nicht ganz wie du jetzt genau auf das V_2/(ker

f)

kommst?

korbinian aktiv_icon

23:05 Uhr, 09.07.2018

das war nicht meine Idee; sie stammt aus dem von dir skizzierten Beweis.
Unsere Aufgabe ist nicht zu ergründen, wie der Autor darauf gekommen ist (auch wenn das interessant wäre), sondern zu verstehen, dass der Beweis damit funktioniert.

Florentine1996 aktiv_icon

09:09 Uhr, 10.07.2018

Aber trotzdem würde ich gerne wissen, wie man daraufkommt.

Wenn ich den Anfang der exakten Sequenz betrachte

0 \to V_{1} \to V_{2} \to V_{3}

mit

f_{1} : V_{1} \to V_{2}

f_{2} V_{2} \to V_{3}

Dann ist doch

f_{1}

injektiv und

V_{2} ≅

f_{1} =

ker

f_{2},

also

V_{3} ≅ V_{2}

/(ker

f_{2})

wegen der Surjektivität von

f_{2}

Also kann ich es so schreiben:

0 \to V_{1} \to V_{2} \to V_{2}

/(ker

f_{2})

oder?

ermanus aktiv_icon

16:18 Uhr, 10.07.2018

Hallo,

du meinst sicher "

V_{1} ≅ im f_{1}

" statt "

V_{2} ≅ im f_{1}

".
Wie du darauf kommst, dass

f_{2}

surjektiv ist, verstehe ich nicht.

Ich würde den "Dimensionswechselsummensatz" anders -
nach meinem Verstöändnis: natürlicher - angehen.

Zunächst einmal gibt es da die einfache Methode, lange exakte Sequenzen
in zwei kürzere exakte "Teilsequenzen" zu zerlegen:

Sei

0 \to V_{1} \to V_{2} \to \dots \to V_{i} \to \dots \to V_{n} \to 0 (1)

eine lange exakte Sequenz mit

f_{i} : V_{i} \to V_{i + 1}

Für

i \geq 2

kann man dann (Ohne Informationsverlust) daraus die beiden
kürzeren exakten Sequenzen

0 \to V_{1} \to \dots \to V_{i} \to im f_{i} \to 0 (2)

und

0 \to im f_{i} \to V_{i + 1} \to \dots \to V_{n} \to 0 (3)

bilden,

hierbei ist

im f_{i} \to V_{i + 1}

die Inklusionsabbildung "

\subseteq

".

Wir wollen dies anwenden auf

i = 2

0 \to V_{1} \to V_{2} \to im f_{2} \to 0 (2)

0 \to im f_{2} \to V_{3} \to \dots \to V_{n} \to 0 (3)

Aus

(2)

folgt (Homomorphisatz):

\dim (im f_{2}) = \dim (V_{2}) - \dim (V_{1}) (4)

.

Die Induktionsvoraussetzung auf die "gekürzte" Sequenz

(3)

angewendet liefert:

\dim (im f_{2}) - \dim (V 3) + - \dots \pm \dim (V_{n}) = 0

.
Hier setzen wir

(4)

ein, und erhalten:

- \dim (V_{1}) + \dim (V_{2}) - \dim (V_{3}) + - \dots \pm \dim (V_{n}) = 0

,
was zu beweisen war.

Florentine1996 aktiv_icon

18:26 Uhr, 10.07.2018

Danke für deine Antwort:-)
Ich habe nur eine Frage dazu. Wie folgt denn aus

(2)

genau die Dimensionsformel.

Zu dem,was ich gesagt habe:
Ich habe gedacht, dass bei einer exakten Sequenz

f_{2}

surjektiv sein muss?

ermanus aktiv_icon

19:00 Uhr, 10.07.2018

Bevor ich zum Abendessen schreite und hernach die Dimensionsformel erkläre,
kurz zu der Surjektivität deines

f_{2}

:

Wenn du gesagst hättest,

0 \to V_{1} \to V_{2} \to V_{3} \to 0

sei exakt, dann stimmte der Kern von

V_{3} \to 0

, das ist

V_{3}

,
mit dem Bild von

f_{2}

überein wegen der Exaktheit an der Stelle

V_{3}

,
dann wäre also

f_{2}

surjektiv.
Hat man aber nur die von dir angegebene Sequenz

0 \to V_{1} \to V_{2} \to V_{3}

,
so weiß man über das Bild von

f_{2}

nichts, kann also nicht davon ausgehen,
dass

f_{2}

surjektiv ist.

Florentine1996 aktiv_icon

19:12 Uhr, 10.07.2018

Aso sorry. Aber dann ist es wenigstens klar:-)

ermanus aktiv_icon

20:27 Uhr, 10.07.2018

Nun zu

0 \to V_{1} \to V_{2} \to im f_{2} \to 0

.
Nach dem Homomorphiesatz gilt:

im f_{2} ≅ V_{2} / {\ker f}_{2} = V_{2} / im f_{1}

.
Allegemin hat man für die Dimension eines Faktorraumes

V / U

die Dimension

\dim V / U = \dim V - \dim U

. In unserem Falle also:

\dim im f_{2} = {\dim V}_{2} - \dim im f_{1} = {\dim V}_{2} - {\dim V}_{1}

,
da

im f_{1} ≅ V_{1}

ist.

Gruß ermanus

Florentine1996 aktiv_icon

20:52 Uhr, 10.07.2018

Danke dir. ich habe es verstanden:

Ich habe bei einer anderen Aufgabe auch eine Anwendung des Homo. Satzes:

K [X]

\(p)

≅ V

.
Die Frage ist, wennn

dim V = n

endlich und

dim K [X] = \infty

.
Warum ist dann

p \neq 0

aus Dimensionsgründen?

ermanus aktiv_icon

21:33 Uhr, 10.07.2018

Für

V ≅ K [x] / (0)

gilt

\dim K [x] / (0) = \dim K [x] = \infty

Florentine1996 aktiv_icon

22:29 Uhr, 10.07.2018

Achso. Dann wäre

V

nicht endlich, wenn

p = 0

. Danke dir für deine Hilfe:-)

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