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exponentialfunktion (Reihen Konvergenz)

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen

anonymous

21:57 Uhr, 03.06.2015

Hallo,

ich hab eine Frage zur Exponentialfunktion.

Also ich hab folgende Aufgabe:

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n \cdot 2^{n}}{n!}

Ich muss hier das Konvergenzverhalten untersuchen.
Wenn ich hier das Quotientenkriterium anwende, kriege ich am Ende

lim_{n \to \infty} | \frac{2}{n} | < 1

.
Also ist das absolut Konvergent.

Zu meiner eigentlichen Frage:

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n \cdot 2^{n}}{n!} = 2 e^{2}

Wie kommt man hier auf die

2 e^{2}

?

Ich kenn diesen Ausdruck:

exp(x)=

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}

Wenn ich das einsetze:

\sum_{n = 1}^{\infty} (n \cdot \frac{2^{n}}{n!})

Für das zweite Produkt

\to

exp(2)

= e^{2}

Was mache ich mit dem ersten Produkt "n" und wie kommt man nun auf die

2 \cdot e^{2}

?

Grüße pauyl1992

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Mathe45

22:09 Uhr, 03.06.2015

\frac{n}{n!} = \frac{n}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot (n - 1) \cdot n} = \frac{1}{(n - 1)!}

anonymous

22:22 Uhr, 03.06.2015

Ok ich verstehe, was da steht, aber ich kann es leider nicht in Zusammenhang bringen.

\sum_{n = 1} \frac{n}{n!} = e

Mathe45

22:26 Uhr, 03.06.2015

Also

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n \cdot 2^{n}}{n!} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2^{n}}{(n - 1)!} = \frac{2}{0!} + \frac{2^{2}}{1!} + \frac{2^{3}}{2!} + \frac{2^{4}}{3!} + ... = 2 + 2^{2} + \frac{2^{3}}{2!} + \frac{2^{4}}{3!} + \frac{2^{5}}{4!} + . .

e^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{4}}{4!} + . .

e^{2} = 1 + 2 + \frac{2^{2}}{2!} + \frac{2^{3}}{3!} + \frac{2^{4}}{4!} + . .

2 \cdot e^{2} = 2 + 2^{2} + \frac{2^{3}}{2!} + \frac{2^{4}}{3!} + \frac{2^{5}}{4!} + . .

.
Vergleiche !

Mathe45

22:31 Uhr, 03.06.2015

Alles klar ? Ich muss offline gehen !

anonymous

22:32 Uhr, 03.06.2015

Jop! Viele Dank!

anonymous

23:26 Uhr, 03.06.2015

Hab doch noch eine Frage.
Also für das Beispiel ist mir das jetzt klar.
Aber wie schaut es hier aus?

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n} \cdot 2^{n}}{n!} = \frac{1}{e^{2}} - 1

Wie kommt man nun hier auf

\frac{1}{e^{2}} - 1

{(- 1)}^{n}

ist

j a

eine alternierende Folge und wenn

n

gerade ist, kriegt man

1, n

ungerade

- 1

n

gerade:

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1 \cdot 2^{n}}{n!} = e^{2}

n

ungerade:

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{- 1 \cdot 2^{n}}{n!} = \frac{1}{e^{2}}

(\to \frac{1 - e^{2}}{e^{2}} = \frac{1}{e^{2}} - \frac{e^{2}}{e^{2}} = \frac{1}{e^{2}} - 1)

Wie kommt man drauf?

ledum aktiv_icon

23:57 Uhr, 03.06.2015

Hallo
statt

{(- 1)}^{n} \cdot 2^{n}

schreibe

{(- 2)}^{n}

dann steht da die Reihe für

e^{- 2}

ausser dem ersten Glied, denn die Exponentialreihe fängt bei

n = 0

an nicht bei

n = 1

(das hast du auch in einem der vorigen posts falsch)

was du machst ist falsch wenn du

n

gerade nur hast kannst du ja nicht trotzdem über alle

n

summieren ebenso

n

ungerade.
wenn du trennen wolltest musst du die eine Reihe mit

2^{2 n,}

die andere mit

2^{2 n - 1}

hinschreiben.

Gruß ledum

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