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exponentielles, lineares Wachstum
Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe
Tags: Exponentielles Wachstum, Funktion, Lineares Wachstum
 
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Ich habe hier mal eine Aufgabe, die mir nicht so verständlich ist: Modelll aufstellen und die Qualität des Modells überprüfen. Die Tabelle zeigt die Bevölkerungsentwicklung eines dorfes. Jahr Bevölkerungsanzahl Welche Bevölkerungsanzahl kann für das Jahr prognoziert werden? Modelliere durch ein lineares bzw. exponentielles Wachstumsgesetz (Welches Wachstumsgesetz ist richtig?). Vergleiche die so gewonnenen Daten mit den realen Daten und bewerte die Ansätze. Sll man einfach die Wachstumsrate bzw. -faktor berechnen und selbst solche Daten ausrechnen? Und wie soll ich meine Daten dann mit den realen Daten vergleichen und bewerten? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Funktion (Mathematischer Grundbegriff) Exponentielles Wachstum (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Als erstes solltest Du die gegebenen Daten grafisch darstellen. Dann wird die Aufgabe viel anschaulicher. An Hand der Grafik kannst Du sehen, ob eine lineare Funktion (lineares Wachstunmsgesetz) oder eine exponentielle Funktion besser passt, um die Datenpunkte anzunähern. Da die Bevölkerungszahl mit der Zeit abfällt müssen a bzw. negativ sein. Die Parameter für ein lineares Wachstumsgesetz kannst Du ganz einfach bestimmen, indem Du per Augenmaß eine Gerade in die grafische Darstellung einzeichnest, die so liegt, dass alle Datenpunkte so gute wie möglich durch die Gerade angenäert werden. Für ein exponentielles Wachstumsgesetz geht das nicht so direkt. Der Trick ist hier, eine neue grafische Darstellung zu machen, in der an Stelle der Bevölkerungszahlen der Logarithmus der Bevölkerungszahlen aufgetragen wird. Dann wird aus der exponentiellen Funktion: also wieder ein linearer Zusammenhang zur Zeit . Die parameter und kannst Du jetzt mit einer per Augenmaß eingezeichneten Geraden bestimmen, wie im Fall des linearen Wachstumsgesetzes. Wenn Du die Parameter a und bzw. und für das Wachstumsgesetz bestimmt hast, kanst Du in die Formeln die gegebenen Werte für einsetzen, also die Jahreszahlen, und dann ausrechnen, welche Bevölkerungszahlen laut Modell rauskommen müssten. Und die vergleichst Du mit den tatsächlichen Bevölkerungszahlen. |
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