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exponentielles wachstum und zerfall

Schüler Allgemeinbildende höhere Schulen, 12. Klassenstufe

Tags: exponentieller zerfall, Exponentielles Wachstum

catalina_stainz aktiv_icon

07:05 Uhr, 15.05.2009

Morgen,

ich hab bräuchte wieder mal zwei Ansätze da ich wieder wo hänge, diesmal bei exponentiellen Wachstum und Zerfall:

- - - -

BSP

1 -

Zitat: Pro Tag werden

0,576 %

des im Körper vorhanden Jods ausgeschieden. Auch dieser Vorgang verläuft exponentiell und kann durch die Funktion

N (t) = N 0

e

hoch (LAMPDA

\cdot t)

beschrieben werden. Ermitteln Sie LAMPDA. Wie viel ist von der Restmenger aus BSP a (0,372mg) nach

30

Tagen noch im Körper?

- - - -

- \to

da hänge ich leider irgendwie dabei, wie ich auf das LAMPDA komme???

[L :

LAMPDA

= 0,00578;

0,3125mg nach

30

Tagen

]

- - - -

BSP

2 -

Zitat: Statt Strom in Metalldrähten wird zur Informationsübertragung immer häufiger Licht in Glasfaserkabeln verwendet. Beim Durchgang durch einen Lichtleiter nimmt die Intensität des Lichtes exponentiell ab. Die Ursprünglich Lichtitensität ist I0 und die Intensität nach der Strecke

d (\in

km) ist I(d). Eine extrem klare Glasfaser absorbiert auf 36km Länge die Hälfte des eingestrahlten Lichtes.

- - - -

- - \to

LAMPDA

(- 0,019254)

bzw.

A (0,98093)

zu berechnen war kein Problem

- \to

dann steht aber noch

- \to

- - - -

Um wieviel Prozent nimmt die Intensität beim Durchgang von 1 km ab? Wie viel Prozent des eingestrahlten Lichtes verlassen eine 50km lange Glasfaser?

[L : 1,91 %

Abnahme,

38,19 %

nach 50km

]

- - - -

- - \to

da fehlt mir leider der Ansatz wieder wie ich auf die Abnahme komme, da kommt bei mir immer was falsches raus...

DANKE - lg bernes

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentielles Wachstum (Mathematischer Grundbegriff)

UlrichA aktiv_icon

09:03 Uhr, 15.05.2009

Möglicher Weise kommen deine Probleme, weil du die Formel nicht wie üblich schreibst:

N (t) = N (0) . e^{- λ . t}

sondern das negative Zeichen weglässt. Prinzipiell ist das möglich, jedoch wird dann

λ

negativ. Da jedoch in deiner Lösung

λ

positiv ist, benutze ich die übliche Formel. Es wird eine Abnahme von

0,576 %

pro Tag angegeben. Das bedeutet:

N (1) = N (0) . (1 - 0,576 %) = N (0) . 0,9924

Eingesetzt in die obige Formel ergibt sich:

N (0) . 0,99424 = N (0) . e^{- λ . 1 d}

oder

λ = - ln (0,99424) = 0,00578 \frac{1}{d}

Jetzt soll die Menge für

30 d

ausgerechnet werden:

N (30 d) = 0,372

mg.e^(-0,00578

\frac{1}{d} . 30 d) = 0,313

mg

Bei der 2. Aufgabe ist
I(36 km)/I(0km)

= \frac{1}{2} = e^{- λ . 36}

km)
-ln(0,5)/36km=lambda=0,019254 1/km
Die Lichtintensität nach 1 km ergibt sich also zu
I(1km)=I(0km).e^(-0,019254 1/km.1 km)=0,9809.I(0)
Die Abnahme ist dann I(0)-0,9809.I(0)=0,0191=1,91%
Die nach

50

km verbleibende Lichtintensität ist:
I(50 km)= I(0 km).e^(-0,019254 1/km.50 km)=0,3819.I(0 km)
Der relative austretende Anteil ist I(50 km)/I(0 km)=0,3819=38,19 %

catalina_stainz aktiv_icon

09:14 Uhr, 15.05.2009

Hallo UlrichA,

danke erstmals für deine Antwort, habe vorhin

14

Beispiele ohne Probleme mit Wachstum und Zerfall gerechnet, nur bei diesem hat es mich voll aufgebirnt. Kannst du mir dass mit dem negativen LAMPDA erläutern, daran ist es gescheitert? Wann muss ich das negative Vorzeichen verwenden?

lg bernes

catalina_stainz aktiv_icon

09:16 Uhr, 15.05.2009

aso, die Lehrerin hat sich bei der Lösung verschrieben, LAMPDA ist

- 0,00578,

ändert sich jetzt was bei der Formel? Beim ersten Beispiel?

catalina_stainz aktiv_icon

09:20 Uhr, 15.05.2009

ah schon gesehen, normalerweise kommt einfach das LAMPDA negativ Weck und wir normal angeschrieben

-)

thx bernes

Photon aktiv_icon

09:22 Uhr, 15.05.2009

Du meinst sicher LAMBDA

(λ)

und nicht LAMPDA. :-)

Tarengrim aktiv_icon

09:23 Uhr, 15.05.2009

Guten Morgen.

Also beim ersten beispiel hast du einen kleinen (flüchtigkeits) Fehler in deiner Formel.
Normaler weise sagt man

N (0) = N (t) \cdot e^{- Λ \cdot t}

Λ

sind in diesem Fall Prozent, Teile pro hundert Teile. Du musst die Prozent jetzt in ein Verhältnis, oder besser einen Faktor umrechnen indem du den Prozentwert durch

100

dividierst um es eben nicht mehr auf ein hundertstel (pro Cent, grob übersetzt "vom hundert") sondern eins zu beziehen. Ich hoffe das macht sinn, ist zum teil schwer zu erklären.

Auf jeden Fall hast du dann

Λ

und kannst relativ simpel in die Formel einsetzen (minus vorm

Λ

nicht vergessen)

bei Punkt zwei geht man eigentlich genau so vor.

du sagst wieder I(d)=I(0)

\cdot e^{- Λ \cdot d}

sind in diesem Fall die angegebenen km, und wir wissen das I(d) an dieser strecke

= \frac{I (0)}{2}

ist. der Rest ist Algebra, was du ja richtig gemacht hast (das Minus stöhrt mich ein wenig, aber sonst okay.)

die beiden Anderen fragen kannst du aber auch mit der oben beschriebenen formel errechnen.

d

ist in diesem Fall dann entweder 1 oder

50

und du berechnest damit, wie viel Intensität von dem Lichtstrahl nach strecke

d

noch übrig ist, wichtig für die frage mit 1 km.
erneut berechnest du das Verhältnis von I(d)/I(0), und beziehst es dann auf Prozent.

Wenn du noch weitere hilfe brauchst, einfach melden. Und auch wenn ich mich unverständlich ausgedrückt habe, was mir ja öfters passiert.

catalina_stainz aktiv_icon

09:43 Uhr, 15.05.2009

jo, mir ist dies mit dem -lampda noch unverständlich, beim ersten beispiel ist die lösung ein negatives lampda und nicht ein positives da hab ich mich verschrieben...

bitte um kurze aufklärung

thx bernes

UlrichA aktiv_icon

10:42 Uhr, 15.05.2009

Grundsätzlich bedeuten ja diese Abnahmevorgänge, dass man das nächsten Wert der Funktion dadurch bekommt, dass man den Vorangehenden mit einem Faktor

< 1

multipiziert. Wenn man einen Wert

< 1

durch einen Exponentialausdruck darstellen will, muss der Exponent negativ sein. Da die Zeit im 1. Fall oder die vom Licht durchlaufende Strecke im 2. Fall nicht negativ sein kann, muss entweder

λ

negativ sein oder man muss ein negatives Zeichen vor

λ

setzen, um zu erreichen, dass der Exponent negativ ist. Ich kann nur sagen, dass ich es so gelernt habe, dass man Konstanten, wie Zerfallskonstanten oder die Lichtabschwächungskonstante

λ

positiv definiert und die Negativität des Exponenten durch ein Minuszeichen in der Formel erreicht. Wie schon ganz zu Anfang geschrieben, zwingend ist das nicht. Allerdings, wenn man abwechselnd positive und negative

λ

Werte verwendet, verwirrt das und erhöht die Fehlerwahrscheinlichkeit.

catalina_stainz aktiv_icon

21:32 Uhr, 15.05.2009

okay verständlich, ich hab immer erst negativ geschrieben, nachdem ich da lampda hatte wenn dies negativ war... aber formhalber is es sicher besser da hast du recht

-)

hab jetzt alles verstanden dbzgl.

-)

thx bernes

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