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extremalprobleme

Schüler Gesamtschule, 12. Klassenstufe

Tags: Anwendung der Differentialrechnung, extremalproblem

freak93 aktiv_icon

22:09 Uhr, 24.09.2011

Hallo Leute, brauche dringend eure hilfe da ich eine niete in mathe bin.ich habe sogar die aufgabe versucht zu lösen,komme aber leider nich weiter.ich hoffe das sie einigermaßen richtig is,falls ja wonach soll ich auflösen und ableiten ?

Die aufgabe lautet :

Für eine Kleidersammlung soll ein quaderförmiger Container aus Blech entwickelt werden.Folgende Forderungen müssen erfüllt werden:
1.Fassungsvermögen

: 2 m^{3}

2.Der Behälter soll doppelt so lang wie breit sein.
3.Oben soll der Behälter nur zur Hälfte offen sein.
Wie groß ist der Materialverbrauch mindestens?Welche Maße erhält der Container in diesem optimalen Fall ?

das sind meine bisherigen ergebnisse:

hauptbed:

v = a \cdot b \cdot c \to 2 = a \cdot b \cdot c

Nebenbed:

c = 2 b

zielfkt:

2 = a \cdot b \cdot 2 b

2=2ab^2

..weiter komm ich leider nich :((..muss die aufgabe bis morgen

15

uhr fertig haben

: S

..Danke

!!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

michael777 aktiv_icon

22:30 Uhr, 24.09.2011

a, b, c

jeweils in

m

a \cdot b \cdot c = 2

c = 2 \cdot b

daraus

a \cdot b \cdot 2 b = 2

oder umgeformt:

a = \frac{1}{b^{2}}

Zielfunktion
Materialverbrauch=Fläche

Boden

+ 4

Seitenwände

+

Deckel, wobei der Deckel halb so groß wie der Boden ist (die andere Hälfte ist offen)

Zielfunktion:

A = a \cdot b + 2 \cdot b \cdot c + 2 \cdot a \cdot c + \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \to min

Nebenbedingungen

a = \frac{1}{b^{2}}

und

c = 2 b

einsetzen
dann hat man nur noch die Variable

b

also

A (b) = . .

.
ableiten
Ableitung=0

. .

A (a, b, c) = \frac{3}{2} a b + 2 b c + 2 a c

A (b) = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{b^{2}} \cdot b + 2 \cdot b \cdot 2 b + 2 \cdot \frac{1}{b^{2}} \cdot 2 b

A (b) = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{b} + 4 b^{2} + 4 \cdot \frac{1}{b}

A (b) = \frac{11}{2} \cdot \frac{1}{b} + 4 \cdot b^{2}

Ableitung

A' (b) = - \frac{11}{2} \cdot \frac{1}{b^{2}} + 8 b

Extremwerte durch Nullsetzen der Ableitung:

A' (b) = 0 :

- \frac{11}{2} \cdot \frac{1}{b^{2}} + 8 b = 0

umgeformt:

b^{3} = \frac{11}{16}

3. Wurzel ziehen:

b = \sqrt[3]{\frac{11}{16}} = 0,88

mit dem b-Wert die anderen beiden Werte berechen durch Einsetzen in die beiden Nebenbedingungen:

c = 2 \cdot b = 2 \cdot \sqrt[3]{\frac{11}{16}} = 1,77

a = \frac{1}{b^{2}} = \frac{1}{{(\frac{11}{16})}^{\frac{2}{3}}} = {(\frac{11}{16})}^{- \frac{2}{3}} = 1,28

minimaler Verbrauch:
A_min

= A (0,88) = \frac{11}{2} \cdot \frac{1}{0,88} + 4 \cdot {0,88}^{2} = 9,35

Materialverbrauch:

9,35 m^{2}

freak93 aktiv_icon

22:54 Uhr, 24.09.2011

Danke für die sehr schnelle antwort.habe mir natürlich alles sofort angeschaut.nur was ich nihc verstehe,wo ich die nebenbedingung einsetzen soll..und was der rest nach der ableitung ist..und wie bist du auf

\frac{3}{2}

gekommen .??

: S : ((

michael777 aktiv_icon

23:00 Uhr, 24.09.2011

zuerst habe ich die Fläche in Abhängigkeit von

a, b

und

c

also

A (a, b, c)

dann habe ich die beiden Nebenbedingungen

a = \frac{1}{b^{2}}

und

c = 2 b

eingesetzt und

A (b)

erhalten

die

\frac{3}{2} a b

kommen vom Zusammenfassen: Grundfläche einmal ganz (Boden) und einmal halb (Deckel)

nach der Ableitung habe ich den Text oben ergänzt, vielleicht ist es so besser verständlich

freak93 aktiv_icon

23:04 Uhr, 24.09.2011

Stimmt.ich bin ja so dumm.Daanke

!!!

ich verstehs einigermaßen :-))..

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