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extremwert-aufgabe

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Extremwertaufgabe, Extremwertaufgaben

ueckemuecke aktiv_icon

17:59 Uhr, 18.05.2009

Die Aufgabe lautet:

Ein

1 m

langer Draht wird in zwei Teile geteilt. Aus dem einen Teil wird ein Quadrat geformt, aus dem anderen ein Kreis. Wie lang müssen die Stücke sein, damit die Summe der Flächeninhalte von Quadrat und Kreis minimal wird?

Mein Lösungsansatz:

1 m = a + b

a = 2 \cdot π \cdot r

b = 4 \cdot c

("c" wäre also die Länge einer Quadratseite)

Zielfunktion:

c^{2} + π \cdot r^{2} - \to

minimal

daraus ergibt sich:

100cm=

(2 \cdot π \cdot r) + 4 c

löst man jetzt nach

c

auf, kommt (zumindest bei mir) folgendes raus:

c=

[

(2*pi*r-100cm)/(-4)]

Das in die Zielfunktion eingesetzt, ergibt eine richtig fiese Formel, bei der ich mir auch nciht sicher bin, ob das so alles ganz richtig ist.

f(r)=

[

(2*pi*r-100cm)/(-4)]^2+(r^2*pi)

Da hakt es.... Ich kann diese Formel nicht auflösen... Wenn ich das hätte, würde ich

f' (r) = 0

setzen und dann hätte ich ja das Minimum (vorausgesetzt natürlich, dass

f'' (r) > 0

ist)

Kann mir hier jemand helfen, bzw mir sagen, ob meine Lösungsansätze irgendwie Sinn ergeben? :-D)

Danke!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pleindespoir aktiv_icon

18:14 Uhr, 18.05.2009

Ist doch alles perfekt!

scheib das mal so hin, dass das r bzw r^2 vorgeklammert ist und es kommt noch ein absolutes Glied. Ist eine quadratische gleichung. Die musst du aber garnicht lösen, sondern Ableiten. Die Nullstelle der Ableitung ist das optimale r.

Giant aktiv_icon

18:17 Uhr, 18.05.2009

Hallo,

die ersten Schritte scheinen richtig zu sein, ich hätte allerdings die Begebenheit nicht in der Variable

c

ausgedrückt.

Wenn man von dem Draht einen Teil nimmt, dann braucht man ja weil es ein Quadrat ist für jede Seite jeweils

\frac{1}{4}

Teil von dem was man genommen hat.
Also berechnet sich der Flächeninhalt so:

A_{R} = \frac{1}{4} a \cdot \frac{1}{4} a = \frac{1}{16} a^{2}

oder nicht?

Gruß Giant

Cauchy09

18:22 Uhr, 18.05.2009

a + b = 1

\Leftrightarrow b = 1 - a

Kreisumfang:

a = 2 π r

\Leftrightarrow r = \frac{a}{2 π}

Kreisfläche:

π r^{2} = π {(\frac{a}{2 π})}^{2} = \frac{1}{4 π} a^{2}

Quadratumfang:

b = 1 - a = 4 x

\Leftrightarrow x = \frac{1 - a}{4}

Quadratfläche:

x^{2} = {(\frac{1 - a}{4})}^{2} = \frac{1 - 2 a + a^{2}}{16} = \frac{1}{16} a^{2} - \frac{1}{8} a + \frac{1}{16}

Gesamtfläche:

A (a) = (\frac{1}{4 π} a^{2}) + (\frac{1}{16} a^{2} - \frac{1}{8} a + \frac{1}{16}) = (\frac{1}{4 π} + \frac{1}{16}) a^{2} - \frac{1}{8} a + \frac{1}{16}

A' (a) = \frac{4 + π}{8 π} a - \frac{1}{8} = 0

\Leftrightarrow a = \frac{π}{4 + π} \approx 0,44

A'' (a) = \frac{4 + π}{8 π} > 0 \to

Minimum

b = 1 - a = 1 - \frac{π}{4 + π} = \frac{4}{4 + π} \approx 0,56

ueckemuecke aktiv_icon

18:34 Uhr, 18.05.2009

@pleindespoir: ich bin nicht sicher, ob ich das ganz verstanden habe (mathe ist nicht so mein stärkstes fach

\cdot g \cdot)

meinst du so?

f (r) =

(r^2)*

[

(pi-100cm)/(-4)]^2+(pi*r^2)

Jetzt steh ich ganz auf dem schlauch xD

pleindespoir aktiv_icon

18:57 Uhr, 18.05.2009

schon auf dem richtigen Weg---

... aber nicht so wirklich ganz...

ueckemuecke aktiv_icon

19:08 Uhr, 18.05.2009

das ist toll... nicht xD

wir wärs damit?

r^2+

[

(2*pi-100cm)/(-4)]^2+(pi*r^2)

aber ich kann doch nicht einfach das

r^{2}

da aus der klammer rausziehen, oder doch?

Da fällt mir grad ein... das wäre dann doch eine binomische formel in der klammer, oder?

pleindespoir aktiv_icon

19:25 Uhr, 18.05.2009

100cm= (2⋅π⋅r)+4c

da übenehme ich mal - ich versuche auf Deinem Ansatz zu bleiben, obgleich es nicht der eleganteste ist, aber er ist wohl DeinemDenken näher, so dass Du leichter verstehst...

Warum machst du aus der wundesschönen 1 für m so unhandliche 100 cm?

1= (2⋅π⋅r)+4c

hätten wir dann und daraus wird
1-(2⋅π⋅r)= +4c
und dann
[1-(2⋅π⋅r)]/4=c

jetzt haben wir auch kein umständliches Minus mehr im Nenner...
und jetzt kommt die geniale Erleuchtung des Jahrtausends - Achtung: Vorhang auf:

1/4-(2⋅π⋅r)/4=c

wow...können wir kürzen

1/4-π⋅r/2=c

das sieht schon nicht mehr sooo schrecklich aus, oder?

Jetzt einsetzen in die Zielfunktion:

A = c^{2} + π \cdot r^{2}

A = (\frac{1}{4} - \frac{π \cdot r}{2})^{2} + π \cdot r^{2}

jetzt darfst du wieder übernehmen:

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