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extremwertaufgabe

Schüler Allgemeinbildende höhere Schulen, 11. Klassenstufe

Tags: Extremwertaufgabe

luigi3021 aktiv_icon

14:34 Uhr, 04.09.2009

hi leute!
Ich habe Probleme mit folgenden Extremwertaufgaben:

1)Einer geraden,quadratischen Pyramide mit der Grundkantenlänge a und der Höhe

h

soll ein quadratisches Prisma mit möglichst großem Volumen eingeschrieben werden. Berechne das Volumen des Prismas. Welchen relativen Anteil am Volumen

d

.Pyramide macht das Volumen

d

. Prismas aus.

2)Von einem Gleichschenkligen Trapez ist gegeben:

a = 8, c = 2, h = 3

(Einheiten)
Dem Trapez soll ein Rechteck mit größtem Flächeninhalt so eingeschrieben werden , dass seine Rechteckseite auf der Grundlinie

d

. Trapezes liegt. (Hinweis:c≤x≤a bzw. 0≤y≤h)

3)Ein Kanal soll einen trapezförmigen Querschnitt bekommen,wobei die Seitenwände unter 45° gegen die Horizontalebene geneigt sind.Der auszumauernde Teil

d

. Trapezumfanges (Seitenwände und Boden) soll im Querschnitt

30 m

betragen . Wie ist der Kanal zu dimensionieren, damit der Flächeninhalt

d

. Querschnitts maximal wird? (Hinweis: Die obere Grenze für

A (x)

ergibt sich für

y = 0)

Also die Lösungen wären : 1)Vprisma=(4:9)·Vpyramide=(4:27)·a^2·h

2) x = 4; y = 2

und 3)x≈8,2m;y≈6,8m;böschungslänge≈11,6m

Würde mich freuen, wenn jemand helfen kann:-)
mfg Luigi

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

lepton

21:22 Uhr, 04.09.2009

1)

Zunächst einmal erstellen wir die Zielfkt. für Prisma mit Grundseite

a_{p}

und der Höhe

h_{p} .

Zielfkt. für Prismenvolumen:

\Rightarrow V_{p} (a_{p}, h_{p}) = {(a_{p})}^{2} \cdot h_{p}

Die Nebenfkt. ist durch die Grundseite a und die Höhe

h

der Pyramide gegeben

\Rightarrow

Strahlensatz (achte hierbei auf die Diagonale in der Grundfläche der Pyramide):

\Rightarrow \frac{\frac{\frac{\sqrt{2} \cdot a}{2}}{\sqrt{2} \cdot a_{p}}}{2} = \frac{h}{h - h_{p}} \Rightarrow h_{p} = h - \frac{a_{p} \cdot h}{a} \in V_{p}

einsetzen

\Rightarrow V_{p} (a_{p}) = - \frac{h}{a} \cdot {(a_{p})}^{3} + h \cdot a_{p}^{2}

V' (a_{p}) = - \frac{3 h}{a} \cdot a_{p}^{2} + 2 h \cdot a_{p} \Rightarrow a_{p} = \frac{2}{3} \cdot a

V'' (a_{p}) = - \frac{6 h}{a} \cdot a_{p} + 2 h <

0:rel.Max.!

h_{p}

ermitteln:

h_{p} = \frac{1}{3} \cdot h

D . h

. wenn die Grundseite des Prismas

\frac{2}{3} \cdot a

und die Höhe

\frac{1}{3} \cdot h

der Pyramide hat, dann ist das Volumen maximal.

Relativer Volumenanteil:

V_P/V_pr=

\frac{4}{9}

Shipwater aktiv_icon

21:33 Uhr, 04.09.2009

@ Lepton

Hallo,

ich habe mich heute vor paar Stunden auch an die Aufgabe gewagt, aber bin letzendlich nicht ans Ziel gekommen, da mir noch ein paar Grundlagen dafür fehlen.

Aber ich habe den Strahlensatz anders angewendet gehabt:

\frac{a}{h} = \frac{a_{p}}{h - h_{p}}

Wodurch man auch zu

h_{p} = h - \frac{h \cdot a_{p}}{a}

kommt.

Ich wollte dich jetzt fragen, ob diese Vorgehensweise auch richtig ist oder ob es nur Zufall ist, dass ich auch zu

h_{p} = \frac{h \cdot a_{p}}{a}

komme. Denn mir scheint mein verwendeter Strahlensatz leichter als der mit den halben Diagonalen zu sein. Aber wenn es nur Zufall ist, nehme ich alles zurück.

Ich würde mich über eine Antwort freuen,

Shipwater

lepton

22:45 Uhr, 04.09.2009

So gesehen ist das Ergebnis das Gleiche, aber wenn man das Ganze geometrisch genauer betrachtet, dann haben wir bestimmte Seitenverhältnisse, die man am besten mit dem zweiten Strahlensatz(SS) darstellen kann. Beim zweiten SS verhält sich der Quotient der beiden parallelen Geradenabschnitte zum Quotienten zu den Strahlenabschnitten, hier in unserem Fall Höhe durch die Differenz der Höhe.

D . h

. durch den Mittelsenkrechten der Pyramide wird sowohl die Diagonale des Prismas als auch die Diagonale der Pyramide halbiert und diese Mittelsenkrechte ist die Höhenseite der Pyramide als auch die Gegenkathete des rechtwinkligen Dreiecks für den SS. Leider kann ich aus dateitechnischen Gründen keine Zeichnung anbieten, sonst wäre das ganze vielleicht etwas leichter.
Ich hoffe das war verständlich.

BjBot aktiv_icon

02:06 Uhr, 05.09.2009

@ shipwater

Nennen wir mal die Eckpunkte der Pyramidengrundfläche A,B,C und D und die Spitze S.
Sei M der Mittelpunkt der Grundfläche und N ein Höhenfusspunkt einer Seitenfläche der Pyramide (gleichzeitig also der Mittelpunkt einer Seite der Pyramidengrundfläche)

Ihr habt nur unterschiedliche Strahlensatzfiguren benutzt.

BEIDE haben natürlich den 2. Strahlensatz benutzt.

Du hast die Figur mit dem Scheitel S und der sich daraus ergebenen Strahlen SN und SM benutzt und lepton die Figur durch SA und SM.

Damit brauchst du nachher durch den Parallelenabschnitt MN lediglich auf die Hälfte der Grundseite zurückgreifen wohingegen lepton durch den Abschnitt AM auf die Hälfte der Diagonalen der Grundfläche angewiesen ist.

Fazit:

Deine Lösung, shipwater, ist deutlich eleganter, da sie ohne Extraumformungen bzgl. der Diagonalen auskommt.

Zudem ist die Lösung von lepton ab der Bestimmung von hp falsch.

Mehr ist dazu nicht zu sagen.

lepton

02:32 Uhr, 05.09.2009

Also, hier soll in einem symmetrischen Trapez ein Rechteck mit maximaler Fläche eingeschrieben werden, wobei die Seiten des Rechtecks sich innerhalb der gegebenen Intervalle befinden dürfen. Intervall für die Breite

b_{R}

des Rechtecks:I=

[

c;a] und für die Länge

a_{R}

des Rechtecks soll gelten: I=

[

0;h]

Zielfkt.: Flächeninhalt des Rechtecks

\Rightarrow A_{R} (a_{R}, b_{R}) = a_{R} \cdot b_{R}

Nebenfkt. ist durch die Seiten und der Höhe des Trapez bekannt

\Rightarrow

Strahlensatz

\Rightarrow \frac{a_{R}}{\frac{a - b_{R}}{2}} = \frac{\frac{c}{2}}{\frac{a - c}{2}} \Rightarrow a_{R} = \frac{a \cdot c}{2 a - 2 c} - \frac{c}{2 a - 2 c} \cdot b_{R} \in A_{R}

einsetzen

\Rightarrow A_{R} (b_{R}) = - \frac{c}{2 a - 2 c} \cdot {(b_{R})}^{2} + \frac{a \cdot c}{2 a - 2 c} \cdot b_{R}

\Rightarrow A_{R}' (b_{R}) = - \frac{c}{a - c} \cdot b_{R} + \frac{a \cdot c}{2 a - 2 c}

\Rightarrow A_{R}'' (b_{R}) = - \frac{c}{a - c} < 0 :

rel. Max.!

b_{R}

ermitteln:

A_{R}' (b_{R}) = 0 \Rightarrow b_{R} = \frac{1}{2} \cdot a \in a_{R}

einsetzen

a_{R}

ermitteln:

a_{R} = \frac{a \cdot c}{4 \cdot (a - c)} \in A (a_{R})

Überprüfen, ob sogar an der Stelle

b_{R} = \frac{1}{2} \cdot a

nicht nur ein relatives, sondern sogar ein absolutes Maximum vorliegt

A (b_{R}) = A (\frac{1}{2} \cdot a) = \frac{a^{2} \cdot c}{8 \cdot (a - c)}

Randwerte in

A_{R}

einsetzen:

A_{R} (c) = \frac{a \cdot c^{2} - c^{3}}{2 a - 2 c} \land A_{R} (a) = 0 \Rightarrow A_{R} (c) \land A_{R} (a) < A (b_{R})

\Rightarrow

Die Fläche des Rechtecks nimmt für

b_{R} = \frac{1}{2} \cdot a

und

a_{R} = \frac{a \cdot c}{4 \cdot (a - c)}

sogar ein absolutes Maximum an.

BjBot aktiv_icon

03:10 Uhr, 05.09.2009

Da der Strahlensatz auf Dauer auch langweilig wird biete ich für 2) mal eine recht umgängliche Alternative an und lasse einfach mal eine Skizze sprechen.
Der wesentliche Gedankengang ist es den Sachverhalt in ein Koordinatensystem zu übertragen und hier als Rechteckshöhe den Funktionswert einer Geraden zu nehmen.

lepton

23:36 Uhr, 06.09.2009

3)

Wir haben hier bei dieser Aufgabe eigentlich 4 Unbekannte. Die erste ist unser Boden

x,

die zweite ist die Seitenwand bzw. Böschungslänge

y,

die dritte ist obere Seite

c

und die letzte ist die Höhe

h

. Nun wenn man sich geschickt anstellt, dann könnte man zwei der Unbekennten substituieren und zwar hier in dem Fall

c \land y

und hätte dann somit nur noch zwei Unbekannte.

Zielfkt. ist die Differenzfläche zw. des Rechtecks

A_{R} = c \cdot h

und die beiden Dreiecke mit

A_{D} = 2 \cdot \frac{h^{2}}{2} = h^{2},

für

c

gilt:

c = x + 2 h (c

substituiert)

\Rightarrow

Zielfkt. als Trapezfläche:

A_{T} (x, h) = (x + h) \cdot h

Nebenfkt. ist zum einen durch den Umfang des Trapez

U_{T}

und zum anderen durch den Winkel von 45° gegeben

\Rightarrow U_{T} = x + 2 y

da ein Winkel von 45° vorhanden ist

\Rightarrow h = \frac{y}{\sqrt{2}} \Rightarrow y = \sqrt{2} \cdot h \in U_{T} (y

substituiert)

\Rightarrow U_{T} = x + 2 \cdot \sqrt{2} \cdot h \Rightarrow x = U_{T} - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot h \in A_{T}

einsetzen

\Rightarrow A_{T} (h) = U_{T} \cdot h - (2 \cdot \sqrt{2} - 1) \cdot h^{2}

\Rightarrow A_{T}' (h) = U_{T} - 2 \cdot (2 \cdot \sqrt{2} - 1) \cdot h

\Rightarrow A_{T}'' (h) = - 2 (2 \cdot \sqrt{2} - 1) < 0 :

rel. Max.!

Höhe

h

ermitteln:

A_{T}' (h) = 0 \Rightarrow h = \frac{U_{T}}{2 \cdot (2 \cdot \sqrt{2} - 1)} = 8,2 m

Boden

x

ermitteln:

x = U_{T} - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot h = U_{T} \cdot \frac{\sqrt{2} - 1}{2 \cdot \sqrt{2} - 1} \approx 6,8 m

Böschungslänge

y

ermitteln:

y = h \cdot \sqrt{2} = \frac{U_{T} \cdot \sqrt{2}}{2 \cdot (2 \sqrt{2} - 1)} = 11,6 m

Die Fläche ist dann maximal, wenn die Seiten

h = 8,2 m, x \approx 6,8 m

und

y = 11,6 m

lang sind.

luigi3021 aktiv_icon

16:05 Uhr, 07.09.2009

danke danke danke an alle :-)

luigi3021 aktiv_icon

16:06 Uhr, 07.09.2009

danke danke danke an alle :-)

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