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extremwertaufgabe

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Extremwertaufgabe

anonymous

15:30 Uhr, 10.11.2009

hallo,
ich habe folgende aufgabe zu lösen, jedoch komme ich leider nicht auf die angegebene lösung :

"Ein rechteckiges Fenster mit aufgesetztem Rundbogen soll bei möglichst großer Fläche eine Umrahmung von nur

6 m

haben. Welche Maße sind für das Fenster zu wählen? Wie groß ist die Fläche?"

die gegebene lösung ist

: 2,52 m^{2},

ich komme jedoch auf

4,48 m^{2}

hier ist meine rechnung, ich muss wohl irgendwo einen fehler gemacht haben, es wäre nett, wenn ihr mir helfen könntet!!

Extremalbedingung

: A = a \cdot b + \frac{1}{4} π a^{2} ... ... max

.

Nebenbedingung

: U = 2 b + a + \frac{1}{2} π a

\Rightarrow 2 b + a + \frac{1}{2} π a = 6

\Rightarrow b = 3 - \frac{1}{2} a - \frac{1}{4} π a

Zielfunktion

: A (a) = 3 a - \frac{1}{2} a^{2}

\Rightarrow

A´(a)=

3 - a

\Rightarrow a = 3 m

\Rightarrow b = - 0,86 m ... ... ... ... b

kann ja eig. nicht negativ sein...

\Rightarrow A = 4,48 m^{2}

smoka

15:43 Uhr, 10.11.2009

Du solltest Deine Extremalbedingung nochmal überdenken.
Die Kreisfläche lautet

A_{K} = \frac{a^{2} \cdot π}{4}

Der Aufgesetzte Rundbogen hat aber nur die Fläche eines Halbkreises.

anonymous

15:50 Uhr, 10.11.2009

A(ganzer kreis)=

π r^{}

\Rightarrow

A(halbkreis)=

\frac{1}{2} π r^{2}

\Rightarrow r = \frac{1}{2} a

\Rightarrow \frac{1}{4} π a^{2},

müsste doch eigentlich richtig sein, oder?

smoka

15:57 Uhr, 10.11.2009

Nicht ganz.

A_{H a l b k r e i s} = \frac{1}{2} π r^{2}

r = \frac{1}{2} a

\Rightarrow A_{H a l b k r e i s} = \frac{1}{2} π {(\frac{1}{2} a)}^{2} = \frac{1}{2} π \frac{1}{4} a^{2} = \frac{1}{8} π a^{2}

Das geht aber auch schneller. Die Fläche des Kreises berechnet sich auch wie folgt:

A = \frac{d^{2} π}{4}

Wenn Du das durch zwei teilst, kommst Du auch auf das Ergebnis ;-)

anonymous

16:04 Uhr, 10.11.2009

dann ist die zielfunktion

: A (a) = 3 a - \frac{1}{2} a^{2} - \frac{1}{8} π a^{2}

und A´(a)=

3 - a - \frac{1}{4} π a

\Rightarrow 3 - a - \frac{1}{4} π a = 0

wie löse ich dann auf ?

smoka

16:11 Uhr, 10.11.2009

3 - a - \frac{1}{4} π a = 0 \Rightarrow 3 = a + \frac{1}{4} π a \Rightarrow 3 = a \cdot (1 + \frac{1}{4} π) \Rightarrow a = \frac{3}{1 + \frac{1}{4} π}

anonymous

16:14 Uhr, 10.11.2009

danke!!
ans ausklammern hab ich nicht gedacht ;-)

dann weiß ich jetzt, wie es weiter geht!!

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