extremwertprobleme

ok, angenommen a ist die seitenlänge die du aus deinem rechteck herausschneidest,

und x,y,z sind länge, breite und höhe des volumens vom entstehenden quader.

dann gilt erstmal für das volumen: V=x*y*z

weiters gilt aber: x=(l-2a) und y=(b-2a) und z=a

und somit für das volumen: ${\displaystyle \mathrm{V<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=(\mathrm{l<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-2\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>})(\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-2\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>})\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\mathrm{l<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-2\mathrm{l<mspace\; width="0.12em"></mspace>}{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2-2\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+4{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^3}$

um ein maximum für a zu finden muss die erste ableitung verschwinden, also:

${\displaystyle \frac{\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\mathrm{V<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=0=\mathrm{l<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-4\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{l<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-4\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+12{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}$

durch lösen der quadratischen gleichung erhält man nun die beiden lösungen:

${\displaystyle {\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1=5/3(7+\sqrt{13})=17,\mathrm{675...}\left|\right|{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2=-5/3(\sqrt{13}-7)=5,\mathrm{657...}}$

dabei ist allerdings die erste lösung nicht möglich weil man aus einer breite von 30 nicht zweimal die länge a1 herausschneiden kann...

somit ist deine lösung a2 !

ich hoffe das war einigermaßen verständlich.... fragen dazu beantworte ich natürlich gern!