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f: M->M f surjektiv -> f injektiv ?
Universität / Fachhochschule
Tags: Analysis
 
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anonymous 16:40 Uhr, 31.10.2006  |
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Hi, ich würde mich sehr freuen, wenn mir hierbei jemand helfen könnte: Sei M eine ENDLICHE Menge und f:M->M eine Abbildung. Ich soll zeigen, dass f genau dann injektiv ist, wenn f surjektiv ist. Und dann soll ich beantworten, ob das auch gilt, wenn M nicht endlich ist. Also anschaulich verstehe ich die Aussage, mir ist auch klar, dass das so sein muss, doch wie kann ich das auch richtig beweisen? Und zum 2. Teil: Ich denke dass das nicht für unendliche Mengen stimmt, doch beweisen kann ich es leider auch nicht. Ihr würdet mir mit Tipps sehr helfen mfg Carina |
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Hallo ich habe in etwa das selbe Problem und würde mich sehr über Vorschläge zur Lösung freuen |
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Habt ihr es im Fall von endlichen Mengen mit vollständiger Induktion versucht? Gruß Rentnerin |
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Vollständige Induktion? Wie kann man das denn hier anwenden? Kann man denn sonst nicht irgentwie mit einem Widerspruchsbeweis arbeiten? Wenn sich jemand damit auskennt, bitte ich ihn dringend um Hilfe. Ich verzweifle noch an dieser Aufgabe. mfg |
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Wenn ich wüsste wie dann ja ;) Kann ich nicht einfach sagen also ich beweise "->" f sei injektiv also a ungleich b -> f(a) ungleich f(b). Da die Definitionsmenge = Wertemenge f(M) = M muss gelten, dass f surjektiv ist, also : "Für alle a aus M existiert ein b aus M so dass gilt : f(a)=b" Wie schreibe ich das nun Mathematisch richtig auf ? Soll ja als Beweis dienen ? |
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Ich würde es trotzdem einmal mit vollständiger Induktion versuchen. Ist also M eine Menge mit n Elementen, dann ist jede injektive Abbildung von M nach M surjektiv und umgekehrt. Beweis: n=1 Hier gibt es nur eine einzige Abbildung (Identität von M); die ist injektiv und surjektiv. n --> n+1 Sei also M eine Menge mit n+1 Elementen und f:M --> M eine beliebige Abbildung. Zu zeigen: f injektiv ==> f surjektiv und f surjektiv ==> f injektiv. Sei also zunächst f injektiv. Annahme: f ist nicht surjektiv; dann gibt es ein y aus M mit f(x) ungleich y für alle x aus M. Sei g die Einschränkung von f auf M\{y}, also g:M\{y} --> M\{y}, g(x)=f(x). Da f injektiv ist, gilt das natürlich auch für g. Nach Induktionsvoraussetzung (M\{y} hat n Elemente!) ist g surjektiv, d.h. aber, dass jedes z aus M\{y} als Bildelement g(x) und damit auch als f(x) mit x aus M\{y} vorkommt. Was ist aber mit f(y)? Würde f(y) auch in M\{y} liegen, dann wäre f nicht injektiv; also f(y)=y. Dies ist ein Widerspruch zur obigen Annahme, also ist f surjektiv. Sei nun f surjektiv ...... Hoffe, dass der erste Teil des Beweises stimmt. Gruß Rentnerin |
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