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f ]a,b[ gleichm. stetig <==> f [a,b] stetig

Universität / Fachhochschule

18:06 Uhr, 16.01.2021

Aufgabe ist als Bild anbei.

f

gleichmäßig stetig auf

] a, b [\Leftrightarrow f

ist auf

[a, b]

stetig
"=>": Da

f [a, b]

ein kompaktes Intervall ist, ist es auch gleichmäßig stetig (Satz von Heine Cantor). Da

] a, b [

ein (Teil-)Intervall von

[a, b]

ist und

f (x) = f

welle

(x)

folgt, dass

f

auch gleichmäßig stetig ist.
"<=": Hier sollen wir die Tatsache benutzen, dass wenn

f

gleichmäßig stetig ist,

f

Cauchy Folgen in Cauchy Folgen überführt aber ich weiß nicht inwiefern mir das hilft und wie der Beweis dann aussehen soll.

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

18:40 Uhr, 16.01.2021

Hallo,

Du willst / sollst / könntest eine stetige Fortsetzung

h : [a, b] \to ℝ

(ich schreibe

h

statt

f

welle) von

f :] a, b [\to ℝ

definieren. Also so:

h (a) := lim_{x \to a} f (x)

Frage ist, ob dieser Grenzwert existiert. Dazu betrachte eine Folge

(x_{n}) \in] a, b [

mit

x_{n} \to a

. Dann ist

(x_{n})

eine Cauchy-Folge. Mit dem Hinweis folgt aus der glm Stetigkeit, dass

(f (x_{n}))

ebenfalls Cauchy-Folge ist, also

f (x_{n}) \to y

.

Bleibt noch ein Problem: Wenn wir eine zweite Folge

(u_{n})

mit

u_{n} \to a,

dann geht ebenfalls

f (u_{n}) \to z

. Ist

y = z

? Das folgt ebenfalls aus der glm Stetigkeit von

f

.

Gruß pwm

19:22 Uhr, 17.01.2021

Ist einleuchtend, vielen Dank!

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