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f integrierbar -> |f|^p integrierbar ?

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration

Minhotreibtmathe aktiv_icon

07:46 Uhr, 18.09.2023

Ich habe eine Frage zum Beweis von einem Satz von Forsters Ana 1

Zu Beweis von b)

i) warum reicht es für den Fall 0<= f <= 1 zu beweisen ?
ii) warum gilt Mittelwertsatz, obwohl sie zwei verschiedenen Funktionen sind ?

Ich bedanke mich sehr für die kommenden Antworten !

Liebe Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

RudiReis aktiv_icon

12:07 Uhr, 18.09.2023

Moinsen, ich habe da so einige Vermutungen:
1. Du betrachtest ja eigentlich zwei Fälle:

0 \leq f \leq 1

und

f > 1

.
Wenn nun

f > 1

ist, ist

1 / f < 1

, d.h Du kommst wieder zum ersten Fall.
Damit ist

\frac{1}{∣ f ∣^{p}}

Riemann integrierbar auf

[a, b]

. Damit aber auch

∣ f ∣^{p}

.
Denn wenn

f

Riemann integrierbar ist mit

0 < f

, dann auch

1 / f

.

2. Da bin ich mir auch nicht sicher, denke eher MWS der Integralrechnung:
Sei

t \in [a, b]

. Dann

ψ^{p} (t) - φ^{p} (t) = \int_{φ (t)}^{ψ (t)} \frac{d}{d x} x^{p} = \int_{φ (t)}^{ψ (t)} p x^{p - 1} d x \leq p (ψ (t) - φ (t)) .

Also insgesamt dann

ψ^{p} - φ^{p} \leq p (ψ - φ)

.
Hätte man auch direkt sehen können, wenn man

\frac{ψ^{p} - φ^{p}}{ψ - φ} = ψ^{p - 1} + ψ^{p - 2} φ + \dots + φ^{p - 1} \leq p

betrachtet.

HJKweseleit aktiv_icon

12:42 Uhr, 18.09.2023

Der Mittelwertsatz der Differenzialrechnung ist hier gar nicht anwendbar, da

a) im Zähler bzw. Nenner die Differenz von der selben Funktion stehen muss und
b) beim Mittelwertsatz die Zähler- bzw. Nennerfunktion abgeleitet wird, Treppenfunktionen aber entwerder die Ableitung 0 haben (man erhält somit 0/0) oder wegen des Sprunges nicht diffbar sind.

Korrekt ist aber die Polynomdivision von RudiReis, wobei ja

ψ

und

φ \leq 1

sind.

pwmeyer aktiv_icon

13:01 Uhr, 18.09.2023

"Du betrachtest ja eigentlich zwei Fälle: 0≤f≤1 und f>1."

Das ist falsch. Die Alternative zu

0 \leq f \leq 1

ist: Es gibt ein paar Argumente

x \in [a, b],

f (x)

nicht in

[0,1]

liegt. Es können also ein paar negative Werte sein, es können eine Funktionswerte

> 1

sein und eine paar in

[0,1] ...

.

"Denn wenn

f

Riemann integrierbar ist mit

0 < f,

dann auch 1/f"
Auch das ist falsch. Nimm

f (0) := 1

und

f (x) = x

sonst.

Was die Verwendung des Mittelwertsatzes angeht, so wird der nur benutzt, um für 2 reelle Zahlen

a, b \in [0,1]

zu zeige:

| a^{p} - b^{p} | \leq p | a - b |

. Das wird dann verwendet mit

a = φ (x)

und

b = ψ (x)

.

An den Fragesteller: Kann es sein, dass "integrierbar" in der Quelle die Eigenschaft "beschränkt" einschließt?

Minhotreibtmathe aktiv_icon

20:06 Uhr, 18.09.2023

Danke für die Antworten !

Dank euerer Antworten habe ich es verstanden und wegen des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung werden ψ φ als zwei reelle Zahlen in [0,1] betrachtet, dass man wie oben geschrieben die Abschätzung gilt.

Vielen Dank an alle !

HJKweseleit aktiv_icon

15:28 Uhr, 22.09.2023

Dank an pwmeyer für die Erklärung mit den beiden Funktionen

ψ

und

φ

.

Das sieht dann so aus: g(x)=

x^{p}

.

Mittelwertsatz: Für a, b

\in [0 ∣ 1]

gibt es ein

ξ \in [a ∣ b]

(also somit auch

ξ \in [0 ∣ 1]

) mit

\frac{g (a) - g (b)}{a - b} = \frac{a^{p} - b^{p}}{a - b} = g ʹ (ξ) = p ξ^{p - 1} \leq p

, da |

ξ^{p - 1} ∣ \leq 1

Und da die beiden Treppenfunktionen auch zwischen 0 und 1 liegen, kann man sie für a und b einsetzen.
----------------------------------------------------------
Wieso nun die Beschränkung auf

0 \leq f \leq 1

?

f ist Riemann-integrierbar

\overset{}{\Leftrightarrow}

f ist auf jedem abgeschlossenen Intervall Riemann-integrierbar.

Ist nun [a|b] ein beliebiges Intervall, so sei m = max{|f(x)| mit x

\in

[a|b)}.

Dann ist

- m \leq f \leq m

, also 0

\leq f + m \leq 2 m

und daher

0 \leq g (x) = \frac{f + m}{2 m} \leq

1

In diesem Intervall ist f genau dann integrierbar wenn g(x) =

\frac{f + m}{2 m} = \frac{f}{2 m} + \frac{1}{2}

integrierbar ist. Und letzteres wurde bewiesen.

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