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f-invariante Unterräume und ihre Blockdiagonalform

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Tags: Körper

 
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Jonas190

Jonas190 aktiv_icon

12:43 Uhr, 21.10.2020

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Guten Morgen

Ich stehe vor folgendem Problem:
In meinem Skript wird folgendes ausgesagt:
"Sei A eine Matrix in n mal n über (K) und sei f(KnKn) definiert durch f(x)= Ax für alle x aus Kn.

Wenn Kn die direkte Summe für f-invariante Unterräume U1,..., Ur von Kn ist, dann gibt es eine invertierbare Matrix Sn mal n über (K), so dass
S-1AS eine Blockdiagonalmatrix ist (mit den Blöcken A1,...., Ar) "

Diesen Teil verstehe ich.

Nun wird weiter angefügt:

"Eine Matrix S mit dieser Eigenschaft finden wir folgendermassen: Wir bestimmen Basen B1=(v11,....,v1(n1)),...., Br = (vr1, ...., vr(nr)) der Unterräume U1,...., Ur. Die Matrix deren Spalten die Basisvektoren v11,...., vr(nr) sind, ist die gesuchte Matrix S. "

Diesen Teil verstehe ich nicht. Mein Problem ist, dass wir ja (der letzteren Handlungsanweisung entsprechend) einfach immer die Standardbasis wählen können, was dann die Einheitsmatrix ergibt, in welchem Fall die obige Darstellung dann trivial wird. Es muss aber doch eigentlich so sein, dass wir eine ganz bestimmte Basis wählen müssen, welche das "Kunststück" vollbringt, aus A eine Blockdiagonalmatrix zu machen, oder?

Gruss
Jonas

ps: gibt es eine Möglichkeit, wie man in dem Formeleditor ganz einfach einen Index eingeben kann? (so ähnlich wie man mit dem ^ einen Exponenten einfügen kann?)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Online-Nachhilfe in Mathematik
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DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

12:50 Uhr, 21.10.2020

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"ein Problem ist, dass wir ja (der letzteren Handlungsanweisung entsprechend) einfach immer die Standardbasis wählen können, was dann die Einheitsmatrix ergibt"

Wieso das denn?
Glaubst du, dass alle lineare Abbildungen in der Standardbasis durch die Einheitsmatrix dargestellt werden? :-)
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

12:50 Uhr, 21.10.2020

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"gibt es eine Möglichkeit, wie man in dem Formeleditor ganz einfach einen Index eingeben kann?"

Z.B. a_{1n}
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ermanus

ermanus aktiv_icon

13:51 Uhr, 21.10.2020

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Hallo,
falls du ein Beispiel brauchst:

A=\left(\begin{array}{rrr}3&-4&-4\\-1&3&2\\3&-6&-5\end{array}\right).

f:x\mapstoAx sollte - wenn ich mich nicht verrechnet habe -
den Raum als direkte Summe eines 2- und eines 1-dimensionalen
f-invarianten Unterraumes erweisen.
Vielleicht gelingt es dir sogar, den Raum in drei 1-dimensionale
f-invariante Unterräume zu zerlegen?

Gruß ermanus
Jonas190

Jonas190 aktiv_icon

08:24 Uhr, 22.10.2020

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Danke für Eure Antworten und Beispiele!

Ich glaube, es ist mir inzwischen etwas klarer geworden.

Gruss
Jonas