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f ist Primelement,(f) ist Primideal...

Universität / Fachhochschule

Körper

Tags: Ideal, irreduzibel, Körper, Maximal, Prim, Primelement

S-amalgh

15:10 Uhr, 21.11.2020

Sei

K

ein Körper und

f

∈

K [X]

. Zeigen Sie elementar , dass
folgende Aussagen äquivalent sind:

(a)

f

ist irreduzibel.
(b)

f

ist Primelement.
(c)

(f)

ist Primideal.
(d)

(f)

ist maximales Ideal.

Hallo zusammen, könnte mir jemand helfen bitte?

Vielen Dank im Voraus! :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Raummessung

Senfboy

15:29 Uhr, 21.11.2020

Hallo,

Benutze Satz

2.7.5

aus der Vorlesung. ;-)

Mit freundlichen Grüßen.

S-amalgh

15:36 Uhr, 21.11.2020

nein der Lehrer will ohne Benutzung von Satz

2.7.5 . .

Senfboy

17:11 Uhr, 21.11.2020

Dann bitte immer die gesamte Aufgabenstellung angeben.

Schaue im Skript wie die Definitionen der einzelnen Begriffe sind und beweise die Implikationen im Kreis. Das ist Handwerksarbeit und sollte machbar oder zumindest versuchbar sein, wenn man einen Algebra-und Zahlentheoriekurs belegt.

Mach es einfach und selbst wenn es totaler Mist ist, der dabei rauskommt ist das auch nicht schlimm. Du kannst ja deine Ansätze hier präsentieren.

S-amalgh

18:52 Uhr, 21.11.2020

Meinst du ist das die Definition?

Vielen Dank im Voraus! :-)

Senfboy

22:54 Uhr, 21.11.2020

Ja, das wären mögliche Definitionen für zwei der vier Begriffe.

Jetzt fängst du an mit der Implikation

(a) \Rightarrow (b)

Also

z . B . :

Sei

p, x, y \in R

mit

p \neq 0

und

p

nicht aus der Einheitengruppe.
Angenommen es gelte

p =

xy, dann folgt wg.

p

irreduzibel...

usw. bis du bei

(b)

ankommst.

Edit: Das ganze machst du dann auch für

(b) \Rightarrow (c), (c) \Rightarrow (d)

und

(d) \Rightarrow (a)

immer unter Ausnutzung der Definitionen und Annahme der passenden Bedingungen wie oben.

ermanus aktiv_icon

23:21 Uhr, 21.11.2020

Hallo,
du solltest lieber

p = f g

nehmen mit

p

irreduzibel,
damit du nicht mit der Unbestimmten

X

in Tüdel kommst.
Gruß ermanus

S-amalgh

00:21 Uhr, 22.11.2020

richtig so? fehlt was?..

ermanus aktiv_icon

01:00 Uhr, 22.11.2020

Hallo,
(c) und (d) sind nicht äquivalent. Hast du vielleicht

f \neq 0

als Voraussetzung vergessen ?
Gruß ermanus

S-amalgh

01:16 Uhr, 22.11.2020

Wieso nicht äquivalent? Kannst du bitte mir schreiben wie

(c)

und

(d)

aussehen sollen?
Vielen Dank im Voraus! :-)

ermanus aktiv_icon

01:23 Uhr, 22.11.2020

(0)

ist ein Primideal in

K [X]

, aber nicht maximal.
Also nochmal meine Frage: ist

f \neq 0

vorausgesetzt?
Bin leider erst morgen wieder online.
Gruß ermanus

S-amalgh

02:17 Uhr, 22.11.2020

sollte ich das schreiben ne?

Senfboy

05:35 Uhr, 22.11.2020

In der jetztigen Form sind noch keine Aussagen äquivalent. Du hast lediglich eine Folgerungskette

(b) \Rightarrow (c) \Rightarrow (a) \Rightarrow (d)

. Äquivalent werden alle Aussagen erst dann, wenn du zusätzlich noch

(d) \Rightarrow (b)

zeigst und damit die Kette an beiden enden zusammenführst.

Zum Substantiellen: die Folgerung

(b) \Rightarrow (c)

ergibt mit den Bedingungen, dass

f \in K^{x}

keinen Sinn. Es wird hier gefragt, was für ein

f \in K [X]

gilt. Außerdem ist nach Definition gefordert, dass

f

eben nicht in

K {[X]}^{x}

liegt.
Und diese Definition hat auch seine Berechtigung, denn wäre tatsächlich

f \in K {[X]}^{x},

dann folgt daraus nur, dass

(f) = K [X]

. Das kann man auch über die Idealeigenschaft zeigen.

Schaue nochmal in dein Skript. Definition

2.7.1 b)

sagt dir ganz genau, aus welchem Ring(!) jetzt deine

g, z

kommen sollen und mache dir klar, was das mit dem Polynomring zu tun hat. (Die Folgerung

(a) \Rightarrow (b)

ist dafür gut geeignet, auch wenn dieses Vorgehen nicht dogmatisch ist.)
Außerdem musst du annehmen, dass p|gz, wenn du

(b) \Rightarrow (c)

zeigen willst. Stattdessen nimmst du an, dass gz

\in (f)

und ich finde bestimmt noch mehr, wenn ich weiterschaue.

Edit: Hier muss ich nochmal zurückrudern für den letzten Absatz. Natürlich musst du auch annehmen,dass gz

\in (f)

ist für die Definition vom Primideal. Aber da fehlt dann noch ein Satz dazu davor.

Mache dir einfach nochmal klar, was du überhaupt beweisen willst und von welcher zu welcher Definition du dich gerade in einem Schritt bewegen willst. Das sind gar nicht viele Dinge, dazwischen liegen müssen.

S-amalgh

16:01 Uhr, 22.11.2020

Kannst du bitte für mich (a)→(b) beweisen? dann kann ich vielleicht verstehen und die anderen selbst machen..
Vielen Dank im Voraus :-)

Senfboy

18:44 Uhr, 22.11.2020

Ich habe dir den Anfang oben schon vorgegeben für

(a) \Rightarrow (b)

. Den Rest solltest du alleine schaffen oder zumindest probieren, wenn du Algebra bestehen willst.

Ich weiß, dass das kein einfaches Fach ist, aber wenn man es nicht selbst versucht, kann man es auch gleich sein lassen und seine Zeit lieber anders nutzen.

S-amalgh

01:18 Uhr, 23.11.2020

Ich habe sie gemacht. Vielen Dank für die Hilfe! :-))

Senfboy

11:56 Uhr, 23.11.2020

Sehr schön. Wenn du jetzt noch magst, könntest du deine Lösung ja posten, sodass andere Leute, die mit ähnlichen Sachen Probleme haben, deine Lösung sich anschauen können.
Aber zwingt dich natürlich niemand das zu posten, wenn du nicht möchtest. :-P)

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