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f ist injektiv, wenn w_1, w_2,.... linear unabh.
Universität / Fachhochschule
Lineare Abbildungen
Tags: Injetktivität, Lineare Abbildungen
 
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Hallo, ich beschäftige mich zur Zeit mit linearen Abbildungen. Gegeben sind zwei reelle Vektorräume und und eine lineare Abbildung sowie sind Basis von und die Vektoren beliebige Vektoren von Nach dem Prinzip der linearen Fortsetzung gilt dann: Für diese Abbildung gilt dann: ist genau dann injektiv, wenn linear unabhängig sind ist genau dann surjektiv, wenn Erzeugendensystem von sind das ist mir, da ja der Rang der Abbildungsmatrix gleich der Dimension des Bildvektorraums sein muss, deshalb müssen die Vektoren ein Erzeugendensystem von bilden Ich kenne die Regel, dass injektiv ist, wenn der Rang (A) (wenn ich eine Abbildung vom habe). Aber ich kann mir da einfach nichts graphisches drunter vorstellen..... Kann mir da vll jemand weiter helfen? |
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Hi, wenn die Bildvektoren linear abhängig sind, werden das die Spaltenvektoren deiner darstellenden Matrix auch sein. Dann ergibt sich das aus dem Rangsatz. Ansonsten kann man diese Aufgbe auch über die Dimensionsformel lösen... Oder verstehe ich deine Frage falsch? Lieben Gruß Sina |
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Hallo, ich weiß wie ich es lösen muss, also die "Theorie" ist mir klar, ich möchte jetzt nur das Verständnis dahinter haben...... und das ist bei der Injektivität nicht da |
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Hmm... Wenn eine lineare Funktion nicht injektiv ist, dann heißt das, dass ist. Zudem ist ein Untervektorraum. Wenn nicht injektiv ist, dann "faltet" die Funktion also einen ganzen Untervektorraum von (also z.B. eine Gerade oder eine Ebene) auf Null zusammen. Dies gilt jedoch nur für lineare Funktionen!!! |
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Aber das verstehe ich jetzt nicht; du sagst, dass dass Kern(f) ungleich dem Nullvektor ist wenn NICHT injektiv ist; aber warum wird dann ein ganzer Untervektorraum auf Null zusammengefaltet? Das müsste doch gelten, wenn injektiv ist, oder? |
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Nein, eine Funktion ist injektiv, wenn es für jeden Pildpunkt genau einen Urbildpunkt gibt, so dass . Da eine lineare Funktion die Null immer auf Null abbildet, d.h. , dann kann eine injektive Funktion keinen anderen Vektor aus auf abbilden (sonst wäre sie ja nicht injektiv). Und der Kern einer Funktion bildet immer einen Untervektorraum des Definitionsbereiches. |
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aaah, jetzt hab ich es verstanden ! Danke, war super erklärt |
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