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f konvex - positiv semidefinite Hesse Matrix

Universität / Fachhochschule

18:59 Uhr, 25.05.2021

Hallo,

eine Funktion

f : R^{n} \to R

heißt konvex, wenn für alle

x, y \in R^{n},

die Ungleichung
f(tx

+ (1 t) y) \leq

tf(x)

+ (1 t) f (y)

für alle

t \in [0, 1]

gilt.
Beweisen Sie, dass eine zweimal stetig differenzierbare Funktion

f : R^{n} \to R

genau dann konvex ist, wenn die Hessesche Matrix Hess(f)(x) positiv semidefinit für alle

x \in R^{2}

ist.

Ich habe bereits die eine Richtung gezeigt, dass wenn die Hessesche Matrix positiv semidefinit ist dann folgt dass

f

konvex ist.

Jetzt will ich die andere Richtung beweisen, also dass wenn

f

konvex ist dann folgt dass die Hessesche Matrix positiv semidefinit ist.
Wir behauten also dass

f

konvex ist, es gilt also dass f(tx

+ (1 t) y) \leq

tf(x)

+ (1 t) f (y)

.
Um zu zeigen dass die Hessesche Matrix positiv semidefinit ist, müssen wir zeigen dass

z^{T} H z \geq 0,

für jedes

z

.
Behaupten wir dazu dass es nicht stimmt umd dann ein Widerspruch zu bekommen? Aber wie genau machen wir das? Also wir nehmen an dass es

z

gibt mit

z^{T} H z < 0

und wir benutzen dann die Konvexität von

f

um ein Widerspruch zu bekommen?

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