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f meromorph, zeige f hat endlich viele Polst./N.S.
Universität / Fachhochschule
Funktionen
Komplexe Analysis
Tags: Funktion, Komplexe Analysis
 
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Hallo, ich muss folgende Aufgabe lösen, weiß aber nicht wie ich es angehen muss: Sei f eine meromorphe Funktion auf dem beschränkten Gebiet D mit stückweise glattem Rand. f lasse sich analytisch auf dem Rand fortsetzen und habe dort keine Nullstellen. Zeigen Sie, dass f in D nur endliche viele Null- und Polstellen besitzt. Wir haben meromorphe Funktionen definiert, dass sie nur abzählbar viele Punkte in D haben darf, in denen f eine Polstelle besitzt. Aber wie zeige ich hier dass die Menge von Polstellen endlich ist? Ich glaub bei den Nullstellen könnte ich argumentieren, dass wenn es unendlich viele Nullstellen gäbe, dann währe f fast überall konstant, und durch die analytische Fortsetzung gäbe es dann auch Nullstellen am Rand, was aber der Annahme widerspricht. Kann mir da jemand weiterhelfen? LG Samuel |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Funktion (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Hallo, wäre die Menge der Pole von in dem beschränkten Gebiet unendlich und die Funktion auch auf dem Rand "gutartig", so hätte die Menge der Pole im berandeten Gebiet einen Häufungspunkt (das ist ein Bolzano-Weierstrass-Argument). wäre dann auch in nicht holomorph/analytisch. Nach meiner (halb vergessenen) Definition von meromorph müssen aber die Pole einer meromorphen Funktion isoliert sein., was dann ja verletzt wäre. Dies ist nur eine Idee, basierend auf Halbwissen ;-) Gruß ermanus |
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Hallo, hmm das Bolzano-Weierstrass Argument verstehe ich, nur haben wir das nicht bewiesen, also darf ich es auch nicht zur Lösung der Serie verwenden :S. |
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Vielleicht kennst du den Satz in allgemeinerer Form so: eine unendliche Folge in einem kompakten Raum hat eine konvergente Teilfolge oder auch: hat einen Häufungspunkt, oder: eine unendliche Teilmenge eines Kompaktums besitzt einen Häufungspunkt etc. etc. Das ist ein Satz über beschränkte abgeschlossene Mengen (Kompakta) z.B. im , d.h. er gilt auch in . Dieser Satz hat gar nichts mit der Funktionentheorie zu tun ... |
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Oh ja klar natürlich, vielen Dank! :-D) |
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