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f periodisch und stetig => f gleichmäßig stetig

Universität / Fachhochschule

Stetigkeit

Tags: Stetigkeit

MathsTom aktiv_icon

19:05 Uhr, 14.01.2014

Hallo,
ich hänge bei dieser Aufgabe:
Eine Funktion

f : ℝ \to ℝ

heißt gleichmäßig stetig, wenn ein

P > 0

existiert, sodass

f (x + P) = f (x)

für alle

x \in ℝ

gilt.

Zeigen soll man:
Eine stetige periodische Funktion

f : ℝ \to ℝ

ist gleichmäßig stetig.

Meine Idee:
Ich betrachte

f

auf dem kompakten Intervall

[- P, P],

dann ist

f

auf diesem Intervall gleichmäßig stetig.

Die Idee:
Es gibt für beliebige

y, y' \notin [- P, P]

Punkte

x, x' \in [- P, P]

mit gleichen Funktionswerten, sodass also

| f (y) - f (y') | = | f (x) - f (x') |

gilt. Natürlich müssen die

y, y'

gleichen Abstand haben wie die

x, x'

.

Mein Problem:
Ich bekomme das nicht formal aufgeschrieben.
Kann mir dabei jemand behilflich sein? ;-)
Danke!
Thomas

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

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20:42 Uhr, 14.01.2014

Bei der Definition am Anfang hast du dich verschrieben ;-) Ich zeig dir wie ich das jetzt spontan formulieren würde:
Sei

ε > 0

beliebig. Auf dem kompakten Intervall

[- P, P]

folgt die gleichmäßige Stetigkeit aus der Stetigkeit. Damit gibt es ein

0 < δ \leq \frac{P}{2}

so dass für alle

x, x' \in [- P, P]

mit

| x - x' | < δ

bereits

| f (x) - f (x') | < ε

gilt. Seien nun

y, y' \in ℝ

mit

| y - y' | < δ

. Dann existiert ein

k \in ℤ

mit

x := y + k \cdot P \in [- P, P]

und

x' := y' + k \cdot P \in [- P, P]

. Wegen

x, x' \in [- P, P]

und

| x - x' | < δ

gilt

ε > | f (x) - f (x') | = | f (y + k \cdot P) - f (y' + k \cdot P) | = | f (y) - f (y') |

MathsTom aktiv_icon

20:59 Uhr, 14.01.2014

Gut, danke!
Ich würde dann noch zeigen, dass

f (x + k \cdot P) = f (x)

gilt, aber das ist nicht so schwer.
Wieso wählst du

δ \leq \frac{P}{2}

? (Ich nehme an du meinst statt

\frac{T}{2}

eher

\frac{P}{2})

.
Und ist es bei

y

und

y'

wirklich das gleiche k? Oder sollte man eher

k

und

K'

nehmen?

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21:07 Uhr, 14.01.2014

Ja das mit

\frac{P}{2}

habe ich schon editiert. Du musst das selbe

k

wählen, denn nur dann ist doch

| x - x' | < δ

gesichert! Und eben weil ich das selbe

k

wählen muss, brauche ich noch die Bedingung

δ \leq \frac{P}{2}

(was ich aber oBdA annehmen kann) weil es sonst nicht allgemein möglich wäre solch ein

k

zu finden. Wenn man exakt sein will sollte man eigentlich

k

sogar explizit angeben, da war ich jetzt aber zu faul für.

MathsTom aktiv_icon

21:23 Uhr, 14.01.2014

Ok, dass es das selbe

k

sein muss, ist jetzt klar. Und das mit dem

\frac{P}{2}

denke ich auch.
Ich hab mir das mal anschaulich mit dem Sinus klargemacht.

Das ist jetzt eigentlich nicht mehr wichtig, aber: Wie gibt man

k

an?

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22:03 Uhr, 14.01.2014

Ich schreib einfach mal alle meine Gedankengänge auf, vielleicht hilft dir das ja mehr als wenn ich nachher nur das Ergebnis poste. Also ich will erstmal

k \in ℤ

so finden, dass

- \frac{P}{2} \leq y + k \cdot P \leq \frac{P}{2}

(denn dann wird auch

x'

im Intervall

[- P, P]

sein, dazu später mehr). Also

- \frac{P}{2} \leq y + k \cdot P \leq \frac{P}{2} \Leftrightarrow - \frac{P}{2} - y \leq k \cdot P \leq \frac{P}{2} - y \Leftrightarrow \frac{- P - 2 y}{2 P} \leq k \leq \frac{P - 2 y}{2 P}

So nun wähle ich

k := ⌊ \frac{P - 2 y}{2 P} ⌋ \in ℤ

dann ist nämlich

\frac{- P - 2 y}{2 P} = \frac{P - 2 y}{2 P} - 1 \leq k = ⌊ \frac{P - 2 y}{2 P} ⌋ \leq \frac{P - 2 y}{2 P}

(ich benutze hier

x - 1 < ⌊ x ⌋ \leq x)

also wegen der Äquivalenzen von oben

- \frac{P}{2} \leq y + k \cdot P \leq \frac{P}{2}

erfüllt.
Jetzt bleibt zu überlegen, dass für dieses

k

auch

x' = y' + k \cdot P \in [- P, P]

gilt.
Dazu überlegen wir uns zuerst, dass wegen

| y - y' | < δ \leq \frac{P}{2}

gelten muss, dass

- \frac{P}{2} < y' - y < \frac{P}{2}

also

y - \frac{P}{2} < y' < y + \frac{P}{2}

. Dann liefert Abschätzen

- P = y - \frac{P}{2} + \frac{P}{2} - y - P = y - \frac{P}{2} + (\frac{P - 2 y}{2 P} - 1) \cdot P \leq y' + k \cdot P = y' + ⌊ \frac{P - 2 y}{2 P} ⌋ \cdot P \leq y + \frac{P}{2} + \frac{P - 2 y}{2 P} \cdot P = y + \frac{P}{2} + \frac{P}{2} - y = P

MathsTom aktiv_icon

06:12 Uhr, 15.01.2014

Ja, auf jeden Fall hilft mir das mehr ;-) Ich habs auch jetzt.
Hast du noch Lust auf eine andere Aufgabe?

(X, d_{X})

und

(Y, d_{Y})

seien metrische Räume.
Wir betrachten nun

X x Y

und definieren eine Metrik:

d_{X x Y} (x, y), (x', y') = d_{X} (x, x') + d_{Y} (y, y')

.

Ich soll zunächst zeigen, dass die Abbildungen

π_{x} : X x Y \to X, (x, y) \mapsto x

und

π_{y} : X x Y \to Y, (x, y) \mapsto y

stetig sind.
Das schaffe ich.

Nun sei

E \subset X

eine kompakte Teilmenge und

f : E \to Y

eine Abbildung.

zu zeigen:

f

stetig

\Leftrightarrow g r (f) = {(x, f (x))} \subset X x Y

kompakt

Ich habe zunächst festgestellt, dass wenn

E

kompakt ist (und

f

stetig) auch

f (E)

kompakt ist. Und es ist

f = π_{y} \circ π_{X}^{- 1}

(wobei hier dann die

π

jeweils von

g r (f) \in E

bzw.

f (E)

gehen). Ich denke das bringt bestimmt was, sehe aber nicht wirklich, was.

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13:24 Uhr, 15.01.2014

Schau mal hier den Beitrag von owk an:
http://matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php?topic=29393&ref=http%3A%2F%2F
Ich kenne die Begriffe Hausdorff-Raum, Homöomorphismus noch nicht, daher kann ich da nicht viel zu sagen.

MathsTom aktiv_icon

17:40 Uhr, 15.01.2014

Die Begriffe kenne ich auch noch nicht ;-)
Ich habe zu der Hinrichtung aber nun folgende Idee, ähnlich zu der ersten:

Ich schränke

π_{X}

ein:

π_{X} : E x f (E) \to E, (x, f (x)) \mapsto x

. Man kann leicht zeigen, dass

π_{X}

bijektiv ist (und stetig, da nur eingeschränkt).

Da

g r (f) = E x f (E)

kompakt, ist ist

π_{X}^{- 1}

stetig (Satz aus VL ;-))

Man kann

f

nun schreiben als

π_{Y} \circ π_{X}^{- 1}

.
Als Verkettung zweier stetiger Abbildungen ist

f

dann stetig.

Das wäre dann die Rückrichtung.
Aber: Ist

g r (f) = E x f (E)

richtig?

Und bei der Hinrichtung habe ich nicht viel Ahnung. Der Link hilft mir auch leider nicht, trotzdem danke dafür ;-)

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20:37 Uhr, 15.01.2014

Dann stell die Frage mal in einem neuen Thread weil ich finde keine Zeit mich jetzt da einzulesen.

MathsTom aktiv_icon

08:26 Uhr, 16.01.2014

Alles klar, kein Ding!
Vielen Dank für die Hilfe :-)

Shipwater aktiv_icon

19:46 Uhr, 17.01.2014

Hab jetzt mal etwas Zeit gefunden dafür. Also

g r (f) = E \times f (E)

ist natürlich nicht richtig, es müsste

g r (f) = {(x, y) \in E \times f (E) | y = f (x)}

heißen, wenn du es mit dem

\times

darstellen willst, denn zu jedem Wert aus dem Definitionsbereich gehört ja nur einer aus dem Bildbereich. Aber die Rückrichtung kannst du doch wirklich einfach von dem Thread oben übernehmen, das klingt doch alles sehr schlüssig oder fehlt euch da noch Theorie für? Und die Hinrichtung sollte eigentlich leichter sein. Du weißt ja, dass aus

E

kompakt und

f

stetig auch

f (E)

kompakt folgt. Du möchtest haben

g r (f)

kompakt, also könnte man sich mal eine stetige Funktion

\bar{f}

basteln mit

\bar{f} (E) = g r (f)

MathsTom aktiv_icon

18:12 Uhr, 18.01.2014

Jup, ich hab das auch jetzt hinbekommen :-) Danke nochmal ;-)

Shipwater aktiv_icon

19:09 Uhr, 18.01.2014

Umso besser ;-)

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