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fallende Faktorielle abschätzen

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Elementare Zahlentheorie

Tags: Elementare Zahlentheorie, fallende Faktorielle abschätzen

Mittwoch aktiv_icon

17:13 Uhr, 03.02.2012

Ist wahrscheinlich leicht, aber ich komm nicht drauf:

Für

n, k

natürliche Zahlen, sodass

n \geq k

gilt:

n (n - 1) \times \dots \times (n - k + 1) \geq (\frac{n}{2})^{k}

Bin dankbar für eure Hilfe,

Florian

hagman aktiv_icon

11:02 Uhr, 04.02.2012

Wenn

k \leq \frac{n}{2} + 1

ist, ist jeder der

k

Faktoren links

\leq \frac{n}{2}

.

Ansonsten braucht die Abschätzung nicht zu stimmen. Bereits für

n = k = 6

steht links

720,

rechts dagegen

729

Mittwoch aktiv_icon

11:32 Uhr, 06.02.2012

Ah, du hast natürlich recht! Die Sache ist die, dass ich die Divergenz einer unendlichen Summe (mit fixem

k

)

\sum_{n = 0}^{\infty} n (n - 1) \dots (n - k + 1) P (X = n)

zeigen sollte, wobei ich wusste, dass

\sum_{n = 0}^{\infty} n^{k} P (X = n)

divergiert. Dann stand lapidar, dass wäre klar, weil

n (n - 1) \dots (n - k + 1) \geq (\frac{n}{2})^{k}

wäre. Deswegen habe ich verbissen versucht genau das zu zeigen. Mit deiner Antwort ist mir klar geworden, dass für die Konvergenz der Reihe endlich viele Summanden keine Rolle spielen und dass ab einem Index ohnehin

k \leq \frac{n}{2} + 1

erfüllt ist.

Danke!

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