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fallvektor einer Ebene

Schüler

Tags: eben, Vektor

Stephan4

20:12 Uhr, 13.05.2014

Hallo

gegeben:
- Ein Vektor

\vec{v}

mit

z \neq 0

- Ein Gefälleverhältnis

1 : w

Gesucht:
Der Normalvektor einer Ebene

ε,

die ein Gefälle von

1 : w

hat und auf der

\vec{v}

liegt.

ZB

\vec{v} = (\begin{matrix} 0 \\ - 5 \\ - 2 \end{matrix})

und

1 : w = 1 : 2

\vec{v}

soll nun in der gesuchten Ebene liegen und das Gefälle, also die Neigung von

ε

gegenüber der xy-Ebene soll

1 : 2

sein.

tan α = 0,5

Wie findet man diese Ebene?

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Parallelverschiebung
Rechnen mit Vektoren - Einführung
Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten
Skalarprodukt

DrBoogie aktiv_icon

23:44 Uhr, 13.05.2014

Der Winkel

α

ist der Winkel zwischen der Normale zur Ebene und der z-Achse.
Also wenn

\vec{n} = (a, b, c)

die Normale ist (also der normierte Vektor, der Senkrecht zur Ebene steht), dann gilt

\cos (α) = < \vec{n}, \vec{e_{z}} > = < (a, b, c), (0, 0, 1) > = c

.
Und wenn man

\tan (α)

kennt, kann man auch

\cos (α)

finden, weil

\cos (α)^{2} = \frac{1}{1 + \tan^{2} (α)}

.

Also können

c

(a, b, c)

bestimmen. Weiter muss

(a, b, c)

senkrecht zum angegebenen Vektor, der in der Ebene liegt, sein. Das ist die zweite Bedingung.
Und die dritte ist die Normiertheit von

(a, b, c)

. Damit können

\vec{n}

bestimmen.

Stephan4

00:49 Uhr, 14.05.2014

Danke, angewendet auf mein Zahlenbeispiel:

{cos}^{2} α = \frac{1}{1 + {0,5}^{2}} = 0,8 \Rightarrow c = \sqrt{0,8}

Senkrechter Vektor:

0 = \vec{n} \cdot \vec{v}

0 = (\begin{matrix} a \\ b \\ \sqrt{0,8} \end{matrix}) (\begin{matrix} 0 \\ - 5 \\ - 2 \end{matrix}) \Rightarrow b = - 0,4 \cdot \sqrt{0,8} = - 0,3578

\vec{n} = (\begin{matrix} a \\ - 0,4 \cdot \sqrt{0,8} \\ \sqrt{0,8} \end{matrix})

Und wie kommt man jetzt auf a?

funke_61 aktiv_icon

08:17 Uhr, 14.05.2014

"der normierte Vektor" heisst, dass DrBoogies

\vec{n}

die Länge 1 hat
Dies liefert Dir die gesuchte Bedingung für

a

Zur Kontrolle: ich erhalte aus dieser Bedingung:

a = \pm \frac{3}{5 \sqrt{5}}

bzw. in Deiner Systematik:

a = \pm 0,3 \cdot \sqrt{0,8}

(ist zusammen mit Deinen Werten für

b

und

c

etwas anschaulicher)
;-)

funke_61 aktiv_icon

08:51 Uhr, 14.05.2014

edit: vorherigen Eintrag gelöscht, da nicht besonders relevant.

Die zwei Ergebnisse für

a

deuten wohl darauf hin, dass es zwei Ebenen mit den oben vorgegeben Eigenschaft gibt.
;-)

Stephan4

10:19 Uhr, 14.05.2014

Also:

0 = \vec{v} \cdot \vec{n} = (\begin{matrix} v_{x} \\ v_{y} \\ v_{z} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} n_{x} \\ n_{y} \\ \sqrt{\frac{1}{1 + w^{2}}} \end{matrix})

n_{y} = - \frac{1}{v_{y}} \cdot (v_{x} n_{x} + v_{z} \sqrt{\frac{1}{1 + w^{2}}})

1 = n_{x}^{2} + {(- \frac{1}{v_{y}} \cdot (v_{x} n_{x} + v_{z} \sqrt{\frac{1}{1 + w^{2}}}))}^{2} + {(\sqrt{\frac{1}{1 + w^{2}}})}^{2}

\Rightarrow n_{x} = . .

. habs aufgegeben, das explizit auszudrücken. Komplizierter geht's wohl nicht mehr. lol

Mit meinen Zahlen sieht es schon einfacher aus:

\vec{n} = (\begin{matrix} \pm \frac{0,6}{\sqrt{5}} \\ - 0,4 \sqrt{0,8} \\ \sqrt{0,8} \end{matrix}) = (\begin{matrix} \pm \frac{0,6}{\sqrt{5}} \\ - \frac{0,8}{\sqrt{5}} \\ \frac{2}{\sqrt{5}} \end{matrix}) = \frac{1}{5 \sqrt{5}} (\begin{matrix} \pm 3 \\ - 4 \\ 10 \end{matrix})

Länge

(1)

passt. Verhältnis Vertikal zu horizontal

(1 : 2)

passt auch. Welche Freude.
Oh, danke.

Jetzt kann ich auch gleich die nächste Frage nachschieben:
Wie sieht der Vektor aus, der genau waagrecht ist

(z = 0),

und der Vektor, der in der Fallinie der Ebene liegt, also das größte Gefälle hat. Ich glaube, diese beiden und

\vec{n}

stehen normal zu einander.

funke_61 aktiv_icon

10:31 Uhr, 14.05.2014

"Wie sieht der Vektor

(\in

der Ebene) aus, der genau waagrecht ist

(z = 0),

und der Vektor, der in der Fallinie der Ebene liegt, also das größte Gefälle hat. Ich glaube, diese beiden und

\vec{n}

stehen normal zu einander."

Genau so ist es. :-)

Stephan4

10:37 Uhr, 14.05.2014

Wie sieht er zahlenmäßig aus, bei gegebenen

\vec{n}

?
Ich meine, welche Zahlen sind im Konkreten die

x

und y-Werte?

funke_61 aktiv_icon

10:46 Uhr, 14.05.2014

für

z = 0

bin ich gerade am Tüfteln.
es gilt wieder das Gleichungssytem:

\frac{1}{5 \cdot \sqrt{5}} (\begin{matrix} \pm 3 \\ - 4 \\ 10 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} c \\ d \\ 0 \end{matrix}) = 0

(Skalarprodukt der normierten Vektoren

= 0,

da senkrecht aufeinander)

c^{2} + d^{2} + 0^{2} = 1

(da der gesuchte Vektor

(\begin{matrix} c \\ d \\ 0 \end{matrix})

als normierter Vektor angesetzt wird)
zu lösen.

Um den Vektor zu finden, der das grösste Gefälle hat, verwendet man wohl am besten das Gefälleverhältnis von ganz oben. (Edit: inzwischen habe ich herausgefunden, dass dieser Weg nicht besonders zielführend ist. Unten ist eine anschaulichere Lösung skizziert)
;-)

funke_61 aktiv_icon

11:13 Uhr, 14.05.2014

ohne Gewähr bekomme ich für den Vektor mit

z = 0 :

\frac{1}{5} (\begin{matrix} - + 4 \\ \pm 3 \\ 0 \end{matrix})

Sicherer wäre wohl, die beiden unterschiedlichen Ebenen getrennt zu betrachten.

Um den Vektor zu finden, der das grösste Gefälle hat, kann man wohl auch einfach den Normalenvektor betrachten:

\vec{n} = \frac{1}{5} \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot (\begin{matrix} \pm 3 \\ - 4 \\ 10 \end{matrix})

Seine Spitze zeigt ja
(Normierungsfaktor

\frac{1}{5 (\sqrt{5})}

vernachlässigt, denn es geht ja nur um die Richtung)

(\pm 3)

in x-Richtung
und

(- 4)

in y-Richtung.
Damit sollte auch die Richtung des grössten Gefälles der Ebene klar sein
;-)
Jetzt mach ich erstmal eine Stunde Mittag

. .

Stephan4

11:55 Uhr, 14.05.2014

Super, danke erst mal.

Muss das Ganze noch überprüfen, denn ich will eine Zeichenaufgabe aus "Kotierte Projektion" rechnerisch nachvollziehen. Nur zum Nachkotrollieren der Zeichnung natürlich. Nachdem ich im Internet keine derartigen Vorhaben gefunden habe, scheint es, dass ich damit absolutes Neuland betrete. lol
Wenn ich noch weitere Fragen habe, melde ich mich wieder.

Genieße Dein Mittagessen.
Danke nochmals. Prost. Mahlzeit.

funke_61 aktiv_icon

12:01 Uhr, 14.05.2014

Bin gerade vom Essen zurück und habe oben noch was ausgebessert.
Danke für die gute Frage, so was durchzudenken macht mir Spaß, wie Du siehst

. .

.
:-)

funke_61 aktiv_icon

12:30 Uhr, 14.05.2014

mein Ergebnis für den Vektor mit dem größten Gefälle (für die beiden möglichen Ebenen) wäre:

(\begin{matrix} \pm 3 \\ - 4 \\ - \frac{5}{2} \end{matrix})

kommst Du auch auf dieses Ergebnis?

funke_61 aktiv_icon

13:44 Uhr, 14.05.2014

sorry, kanns einfach nicht lassen ;-)
Habe die Probe gemacht, indem ich zwei der drei Vektoren der Ebene als Linearkombination des dritten Vektors der Ebene ansetze (den zweiten Vektor habe ich noch etwas verschönert, da es ja nur auf die Richtung ankommt):

s \cdot (\begin{matrix} 0 \\ - 5 \\ - 2 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} - + 4 \\ \pm 3 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} \pm 3 \\ - 4 \\ - \frac{5}{2} \end{matrix})

Aber nur die beiden überbestimmten LGS:

+ 0 s - 4 t = + 3

- 5 s - 3 t = - 4

- 2 s + 0 t = - 2,5

bzw.

+ 0 s + 4 t = - 3

- 5 s - 3 t = - 4

- 2 s + 0 t = - 2,5

liefern beide die Lösung

s = \frac{5}{4}

t = - \frac{3}{4}

Also ist nachgewiesen, dass zumindest der Vektor

(\begin{matrix} - + 4 \\ - 3 \\ 0 \end{matrix})

und damit auch der Vektor

\frac{1}{5} (\begin{matrix} - + 4 \\ - 3 \\ 0 \end{matrix})

in der entsprechenden Ebene liegt.
;-)

Stephan4

14:10 Uhr, 14.05.2014

Funke schreibt:
"Danke für die gute Frage, so was durchzudenken macht mir Spaß, wie Du siehst "

Tja da kann ich nur sagen: Bitte gerne.

Mich interessiert dieses Thema brennend, habe aber nicht unbeschränkt Zeit.
Lass jetzt gut sein, bitte. Ich melde mich wieder, wenn es was Neues gibt. (Wenn ich mehr Luft habe)

Auch ich bedanke mich bei Dir für die nette Zusammenarbeit.

funke_61 aktiv_icon

14:12 Uhr, 14.05.2014

gern geschehen,
jetzt bin ich auch erstmal zufrieden :-)

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