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fehlende Einträge in Matrix und DGL-System
Universität / Fachhochschule
Gewöhnliche Differentialgleichungen
Eigenwerte
Matrizenrechnung
Tags: Eigenwert, Gewöhnliche Differentialgleichungen, Matrizenrechnung
 
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anonymous 17:24 Uhr, 01.08.2016  |
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Hallo zusammen, ich bräuchte bitte einen Denkanstoß. Unten angefügt ist die Angabe der Aufgabe; es geht um homogene lineare Differentialgleichungssysteme/Eigenwerte und Eigenvektoren/Diagonalisierbarkeit. Gegeben ist eine diagonalisierbare Matrix, in der ein Eintrag fehlt, und eine allgemeine reelle Lösung des zur Matrix gehörigen Gleichungssystems. In der ersten Teilaufgabe sollen Eigenwerte berechnet werden, so weit in Ordnung. In den beiden folgenden Teilaufgaben soll jetzt aber zum einen der fehlende Matrixeintrag und zum anderen ein fehlender Eintrag eines Eigenvektors der reellen Lösung berechnet werden. Welche(n) Zusammenhang(e) zwischen Eigenwerten, Eigenvektoren und der Ursprungsmatrix macht man sich da jetzt zunutze, um auf die Lösungen zu kommen? Determinate berechnen? Gauß-Algorithmus? Diagonalmatrix irgendwie? Ich weiß, wie ich die Eigenwerte und- vektoren berechne und ich kenne auch das "Rezept" wie man schrittweise die allgemeine reelle Lösung eines DGL-Systems berechnet, aber am Verständnis, wie das alles tiefergehend zusammenhängt, scheitert es offenbar :/ Hat jemand eine Idee bzw. jeweils einen Hinweis, was zu tun ist, um auf die gesuchten Größen zu kommen? Vielen Dank im Voraus. Gruß annikin  Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo, > Welche(n) Zusammenhang(e) zwischen Eigenwerten, Eigenvektoren und der Ursprungsmatrix macht man sich > da jetzt zunutze, um auf die Lösungen zu kommen? Du schreibst: > ich kenne auch das "Rezept" wie man schrittweise die allgemeine reelle Lösung eines DGL-Systems berechnet Genau das wird jetzt gebraucht. Wenn einer der reellen Eigenwerte ist (so wie in der Aufgabe), wie findet er Eingang in die Lösungsgesamtheit? Mfg Michael |
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anonymous 21:34 Uhr, 01.08.2016 |
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Hallo MichaL, vielen Dank für deine Antwort! Die Eigenwerte dieser Matrix sind ja (komplex) und (reell). Ein reeller Eigenwert findet als Teil einer e-Funktion Eingang in die Lösung. => , hier also: wobei Oh, heißt das, ich kann nach der Logik a aus der allgemeinen Lösung einfach ablesen? Also weil die e-Funktion 6t im Exponenten hat, ist a = 6? Und wie komm ich auf * ? Also der Vektor, in dem * drinsteht, ist doch der Eigenvektor von = a = 6, oder? Berechne ich also einfach einen Eigenvektor für a = 6? Also LGS aufstellen, wobei ich von den Hauptdiagonaleinträgen immer 6 abziehe, das dann vereinfachen mit Gauß und um auf zu kommen, dann am Ende in die entstandenen Gleichungen für 1 und für 6 einsetzen? Dann hätte ich noch eine Frage; das hier, gleiche Fragestellung, etwas anderer aber ähnlicher Fall (siehe Anhang): Hier geht es scheinbar nicht um DGL-Systeme, daher ist keine Lösung gegeben, aus der man irgendwas ablesen könnte. Dafür haben wir das charakteristische Polynom angegeben. Ich hab das so gelöst, indem ich von der 3x3 Matrix die Determinante (da kommt a ja drin vor) gebildet und diese dann mit dem charakteristischen Polynom gleichgesetzt habe. Ich kam auf das richtige Ergebnis, musste aber zum Teil 4 Klammern hintereinander ausmultiplizeren und hinterher wieder anders zusammenfassen... Gibt's da einen schnelleren/eleganteren Weg, um bei einer solchen Aufgabenstellung auf den fehlenden Wert zu kommen? Gruß annikin  |
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Hallo, > Oh, heißt das, ich kann nach der Logik a aus der allgemeinen Lösung einfach ablesen? > Also weil die e-Funktion 6t im Exponenten hat, ist a = 6? Korrekt. Natürlich kann man auch anders (aber nicht einfacher) bestimmen. Siehe dazu weiter unten! > Und wie komm ich auf * ? Ja, du kannst einfach einen Eigenvektor zum Eigenwert 6 bestimmen. Alternativ (und das umfasst letztlich auch die Bestimmung von ) kannst du einfach für eine Variable nehmen und dann formal betrachten. Der Vergleich der beiden Seiten sollte beide Fragen b) und c) beantworten. Zu der anderen Aufgabe. Auch hier hat die Matrix eine spezielle Form, mit der die Determinante eigentlich eine zweireihige wird, welche doch recht einfach zu bestimmen ist: Ich sehe nicht, wo man da 4 Klammern (Klammerpaare?) bräuchte. > Gibt's da einen schnelleren/eleganteren Weg, um bei einer solchen Aufgabenstellung auf den fehlenden Wert zu > kommen? Nun, wie ich weiter oben erwähnte, sind beide Matrizen von spezieller Struktur (beide haben in der letzten Zeile nur Nullen bis auf einen Eintrag). Da hilft der Entwicklungssatz von Laplace. Siehe besonders den Abschnitt zu Blockmatrizen! Mfg Michael Links: [1] de.wikipedia.org/wiki/Determinante#Laplacescher_Entwicklungssatz |
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anonymous 10:59 Uhr, 02.08.2016 |
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Hallo, vielen Dank für Deine ausführliche Antwort und den Link! Die Variante mit dem Vergleich probier ich nachher mal aus. Mein Fehler bei der zweiten Aufgabe war, dass ich nicht darauf gekommen bin, das gegebene charakteristische Polynom in seiner Darstellung als quadratische Funktion zu faktorisieren - das geht natürlich viel schneller, als die andere Seite, die einem durch die LaPlace-Entwicklung ja quasi schon faktorisiert geliefert wird, auszumultiplizieren. Dann muss man nur noch die Klammerinhalte vergleichen und kommt so auf a. Vielen Dank für Deine Hilfe und eine schöne Woche! Gruß annikin |
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