Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » fehlender Richtungswinkel

fehlender Richtungswinkel

Universität / Fachhochschule

angewandte lineare Algebra

Eigenwerte

Lineare Abbildungen

Skalarprodukte

Tags: Angewandte Lineare Algebra, Eigenwert

elmaxo aktiv_icon

14:27 Uhr, 13.10.2012

Guten Tag,

bitte helft mir einen fehlenden Richtungswinkel unter folgenden Bedingungen zu finden.

Rahmenbedingungen:

$α = γ = 60 ° β > 90 °$

wie kommt man auf die nun folgende Formel um den fehlenden Winkel zu berechnen?

$\cos^{2} α + \cos^{2} β + \cos^{2} γ = 1$

Ich dank im Vorraus :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Femat aktiv_icon

12:07 Uhr, 14.10.2012

Hi
Ich denke, es wäre aufschlussreich, ja sogar notwendig zu schildern, in welchem Zusammenhang deine 3 winkel auftreten.

elmaxo aktiv_icon

13:19 Uhr, 14.10.2012

das sind 3 Winkel eines Vektoren... Kann mir irgendwie auch nicht vorstellen dass ein Vektor gleich 3 Winkel hat!

Die Aufgabenstellung :

Von einem Vektor sind folgende Eigenschaften Bekannt:

$α = γ = 60 °, β > 90 ° \vec{a} = 10$

Bestimmen Sie den noch fehlenden Richtungswinkel $β$ sowie die drei Vektorkoordinaten ax , ay und az.

Mit den Vektorkoordinaten habe ich kein Problem.

Femat aktiv_icon

14:13 Uhr, 14.10.2012

Und was ist deine Lösung zu den Vektorkoordinaten?

elmaxo aktiv_icon

16:03 Uhr, 14.10.2012

5,

die habe ich auch mit dem Winkel berechnet!

Das ist ja gar nicht das Problem. Ich frage mich nur wie die 3 Winkel am Vektor zu stande kommen. Könnt vlt. sein das damit die winkel zu den Achsen gemeint sind und sich die obige Formel aus den Einheitsvektoren zusammensetzt. Werde das jetzt mal probieren

Femat aktiv_icon

19:48 Uhr, 14.10.2012

Also ich komme mit deiner ominösen Formel auf

45

Grad für Beta. Das aber ist ein Widerspruch zur vorgabe Beta>90

elmaxo aktiv_icon

20:22 Uhr, 14.10.2012

\sqrt{0,5} = +

bzw. in diesem fall minus... weil die Bedingung >90° da ist! komme auf 135° !

die Formel zu lösen ist nicht mein Problem, sondern frage ich mich wie ich auf diese omniöse Formel komme die in der Lösung steht.

Mathe45

20:46 Uhr, 14.10.2012

Diese drei Winkel sind die drei Winkel, die der Wektor mit den drei Einheitsvektoren einschließt.
Nach der Formel "Winkel zwischen zwei Vektoren ergibt sich:
Vektor:

(\begin{matrix} x_{a} \\ y_{a} \\ z_{a} \end{matrix})

Winkel mit Einheitsvektor

(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) \Rightarrow cos α = \frac{x_{a}}{\sqrt{x_{a}^{2} + y_{a}^{2} + z_{a}^{2}}}

( ergibt sich aus dem Skalarprodukt )
Analog gilt

cos β = \frac{y_{a}}{\sqrt{x_{a}^{2} + y_{a}^{2} + z_{a}^{2}}}

und

cos γ = \frac{z_{a}}{\sqrt{x_{a}^{2} + y_{a}^{2} + z_{a}^{2}}}

Daraus folgt

{cos}^{2} α + {cos}^{2} γ + {cos}^{2} γ = \frac{{(x_{a})}^{2}}{x_{a}^{2} + y_{a}^{2} + z_{a}^{2}} + \frac{{(y_{a})}^{2}}{x_{a}^{2} + y_{a}^{2} + z_{a}^{2}} + \frac{{(z_{a})}^{2}}{x_{a}^{2} + y_{a}^{2} + z_{a}^{2}} = 1

Das erklärt das Zustandekommen dieser Formel.

Mathe45

20:49 Uhr, 14.10.2012

Der ausständige Winkel ist daher tatsächlich 135°

Femat aktiv_icon

21:37 Uhr, 14.10.2012

Huch danke Mathe45
Und wie heisst denn jetzt der Vektor koordinatenmässig?

Mathe45

21:50 Uhr, 14.10.2012

Das muss man noch aus dem Gleichungssystem ausrechnen.
Da die Winkel nun bekannt sind ( bzw. ihr

cos),

ergeben sich 3 Gleichungen mit

x_{a}, y_{a}

und

z_{a}

.
Wenn ich jede Gleichung - getrennt - quadriere, so erhalte ich 3 Gleichungen mit den Unbekannten

x_{a}^{2}, y_{a}^{2}

und

z_{a}^{2} (

also quasi ein lineares Gleichungssystem ). Allerdings kann die Lösung nicht eindeutig sein, da ja der Winkel zwischen Vektoren unabhängig vom Betrag ist.

Femat aktiv_icon

22:00 Uhr, 14.10.2012

Aber in der aufgabenstellung stand doch vektor