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Formel für Kegelberechnung
Schüler Fachschulen, 9. Klassenstufe
Tags: Geometrie
 
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anonymous 22:23 Uhr, 12.02.2007  |
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Hallo liebe Community, in der Schule ist mir langweilig geworden und ich begann das Geometriebuch durchzublättern und ich fing an bei der Kegelberechnung zu lesen: V = 1/3 * r^2 * PI * h Eigentlich alles nachvollziehbar bis auf das 1/3. Ich habe mir vollgende Überlegung gemacht: Ein Kegel entsteht, wenn ich ein Rechtwinkliges Dreieck um eine seiner Katheten drehe. Wenn ich jetzt zuerst das Volumen eines Zylinders ausrechne (r^2 * PI * h)und danach den Querschnitt des Zylinders und den Querschnitt des Kegels übereinanderlege, sehe ich, dass genau die Hälfte der Fläche zum Kegel und die andere Hälfte zum Zylinder gehört. Dieser Zweidimensionales Bild drehe ich nun beliebig auf der Achse von Zylinder und Kegel und es zeigt immer die hälfte an. (eine Linie besteht aus ganz vielen Punkten, so auch der Kreis denn ich nun mit beliebig vielen rechtwinkligen Dreiecke bestücke) Lange Rede kurzer Sinn: Wieso heisst die Formel nicht: V = 1/2 * r^2 * PI * h? Wo ist mein Überlegungsfehler? Vielen Dank für eure Antworten. mfg birdlord |
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| Hierzu passend bei OnlineMathe: Mitternachtsformel | |
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anonymous 01:09 Uhr, 13.02.2007 |
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Hallo, ein anschaulicher Beweis ist hier zu finden: de.wikipedia.org/wiki/Kegel_%28Geometrie%29#Volumen mit Verweis auf de.wikipedia.org/wiki/Pyramide_%28Geometrie%29 Dort findest Du den Kernsatz: "Diese Behauptung ergibt sich aus der Möglichkeit, ein gerades Dreiecksprisma mit der Grundfläche G und der Höhe h in drei Dreieckspyramiden gleichen Volumens zu zerlegen." Zeichne Dir ein solches gerades Dreiecksprisma auf und zerlege es durch 2 ebene Schnitte in 3 Pyramiden und versuche mit dem Prinzip von Cavalieri nachzuweisen, daß die drei Volumina gleich sind und somit das Volumen eines Kegels den faktor 1/3 enthalten muß. Ich bin mir sicher, daß Dir das gelingen wird! ansonsten liegt Dein Denkfehler darin, daß Du vernachlässigst, daß das "obere" Dreieck mir mehr Punkten bei der Rotation einen längeren Weg zurücklegen muß, d.h. mehr Punkte für mehr Volumen stehen, als dies bei dem "unteren" Dreieck der Fall ist. Zur Verdeutlichung: Du hast ein rechteck genommen, das Du um eine Seite rotieren läßt und sagst, daß so ein Zylinder entsteht, das ist korrekt. Jetzt zeichnest Du eine Diagonale so ein, daß sie an der Seite, um die Du gedreht hast, "oben" beginnt und auf der gegenüberliegenden Seite "unten" endet und Du sagst, daß das bei der Rotation einen Kegel bildet, das ist korrekt. Jetzt zeichne doch noch die andere Diagonale ein und sowohl waagerecht als auch senkrecht eine Gerade durch den Schnittpunkt der Diagonalen. Damit hast Du Dein ursprüngliches Rechteck in 8 gleiche Dreiecke zerlegt. 4 Dreiecke gehören zum Kegel, die restlichen 4 "nur" zum "Restzylinder". Würde Deine Theorie stimmen, daß alle Dreiecke bei einer Drehung immer die gleichen Räume durchstreifen, also das selbe Volumen repräsentieren, dann müßte doch auch folgendes gelten: Der nur durch die 4 inneren Dreiecke (zwischen Drehachse und senkrechter Mittellinie) gebildete Zylinder hat das selbe Volumen wie der nur durch die restlichen Dreiecke gebildete Hohlkörper. Dieser Hohlkörper hat als Volumen die Differenz von Volumen des ursprünglichen Zylinder und Volumen des inneren Zylinder. Der innere Zylinder hat aber den halben Radius, also nur 1/4 des Volumens des ursprünglichen Zylinders. Also nur halb so viel, wie er nach Deiner Theorie haben sollte! |
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ich würde vorschlagen, wenn du es dir selbst wirklich extrem deutlich machen willst, dass du versuchts aus einer Kartoffel ein Quadrat zu schneiden und diese in 3 gleiche Pyramiden zu zerteilen |
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