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f(t)=ce^kt mit k als Bruch - Erklärung mit Grenzw.

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Funktionen

Grenzwerte

Tags: Exponentialfunktion, Funktion, Grenzwert, kontinuierliches Wachstum

limes21 aktiv_icon

09:15 Uhr, 14.08.2020

Hallo liebes Forum,

ich würde gerne wissen, wie genau bei einer Exponentialfunktion der Form

f (t) = c \cdot e^{k \cdot t}

die Konstante

k

bzw. der Wachstumsfaktor des kontinuierlichen Wachstums zustande kommt.

f (0) = 10

kontinuierliches Wachstum von

16 %

pro 1 Zeiteinheit

Funktionsgleichung:

f (t) = 10 \cdot e^{0,16 \cdot t}

Mir ist klar

: e^{0,16}

drücken hierbei

16 %

exponentielles Wachstum pro Zeiteinheit aus, denn

e

drückt eben

100 %

kontinuierliches Wachstum pro Zeiteinheit aus und hier wird durch den "gebrochenen" Exponenten bei

e^{0,16} = e^{\frac{4}{25}}

bzw.

25

Wurzel aus

e^{4}

das exponentielle, kontinuierliche Wachstum "anteilig" auf

16 %

berechnet.

Mich interessiert aber die Rechnung über den Grenzwert/die Definition von

e :

Daraus, dass

e = lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{1}{n})}^{n} = lim_{n \to \infty} {(1 + (\frac{100}{100} : n))}^{n}

kontinuierliches Wachstum von

100 %

pro 1 Zeiteinheit darstellt, ergibt sich doch, dass:

e^{0,16} = lim_{n \to \infty} {(1 + (\frac{16}{100} : n))}^{n}

kontinuierliches Wachstum von

16 %

pro 1 Zeiteinheit darstellt.
Das heißt,

f (t) = 10 \cdot {(lim_{n \to \infty} {(1 + (\frac{16}{100} : n))}^{n})}^{t} = 10 \cdot e^{0,16 \cdot t}

und das

\frac{16}{100} = k

.

meine Frage ist, wie sieht denn der konkrete Rechenweg aus, der dann bei

e^{0,16}

landet?

Vielen Dank im Voraus.

LG

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09:22 Uhr, 14.08.2020

e^{0,16} = 1,1735

Der Wachstumsfaktor

q

beträgt

17,35 %

Es gilt:

q = e^{k}

Wenn du die Wachstumskonstante kennst, kannst du schnell den Faktor errechnen.

Wachstum

100 % \to q = 2 \to k = e^{ln 2}

limes21 aktiv_icon

09:43 Uhr, 14.08.2020

Hallo,

das beantwortet meine Frage nicht.

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10:46 Uhr, 14.08.2020

Deine Frage ist etwas seltsam.
Was ist gegeben, was soll berechnet werden?
Was genau ist dein Problem?
Wo hast du die

16 %

her?
Gibt es eine Originalaufgabe? Du bringst du

m . E

. verschiedene Sachverhalte durcheinander. Was ist der Kontext?

Roman-22

11:03 Uhr, 14.08.2020

> f (0) = 10

>

kontinuierliches Wachstum von

16 %

pro 1 Zeiteinheit

>

Funktionsgleichung:

>

f(t)=10⋅e0,16⋅t

Das ist falsch! Bei einem 16%-igem Zuwachs pro

Z E

lautet die Funktionsgleichung

f (t) = 10 \cdot {1,16}^{\frac{t}{Z E}}

Wenn du diese Exponentialfunktion mit Gewalt auf die Basis

e

biegen möchtest (wozu?), dann musst du eben

1,16 = e^{ln 1,16}

benutzen und kommst auf

f (t) = 10 \cdot e^{\frac{ln 1,16}{Z E} \cdot t} \approx 10 \cdot e^{\frac{0,14842}{Z E} \cdot t}

pivot aktiv_icon

21:50 Uhr, 14.08.2020

Hallo!

>>meine Frage ist, wie sieht denn der konkrete Rechenweg aus, der dann bei

e^{0, 16}

landet?<<

Erst einmal kannst du umformen:

{(1 + \frac{x}{n})}^{n} = e^{n \cdot \ln (1 + \frac{x}{n})}

. Hier ist

x = 0, 16

Substitution:

y = \frac{x}{n}

. Und die Reihenentwicklung für

\ln (1 + y)

\ln (1 + y)^{} = y - \frac{y^{2}}{2} + . . .

Rücksubstitution:

\ln (1 + \frac{x}{n}) = \frac{x}{n} - \frac{{(\frac{x}{n})}^{2}}{2} + . . .

Somit is

{(1 + \frac{x}{n})}^{n} = e^{n \cdot (\frac{x}{n} - \frac{{(\frac{x}{n})}^{2}}{2} + . . .)} = e^{x - \frac{x^{2}}{2 n} + . . .}

lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{x}{n})}^{n} = lim_{n \to \infty} e^{x - \frac{x^{2}}{2 n} + . . .} = e^{x} = e^{0, 16}

limes21 aktiv_icon

11:16 Uhr, 15.08.2020

Pivot hat es verstanden, vielen Dank.

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17:02 Uhr, 15.08.2020

Gerne. Freut mich, dass alles klar ist.

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