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funktion an den grenzen des definitionsbereichs

Schüler Gymnasium,

Tags: Was bedeutet das ...?

sarah3434 aktiv_icon

11:06 Uhr, 09.06.2013

hallo zusammen,
ich hätte eine frage: was bedeutet es bzw. was ist verlangt wenn in der aufgabe steht:
bestimme das verhalten der funktion an den grenzen des definitionsbereichs.

ich bin gerade bei der funktion

f (x) = x^{3} - 16 x

mit der polynomdivision habe ich dafür schon die nullstellen

(\frac{4}{0}), (- \frac{4}{0}), (\frac{0}{0})

berechnet.Muss ich diese bei der aufgabenstellung irgendwie miteinbringen?

freue mich über antworten...

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

anonymous

11:16 Uhr, 09.06.2013

Als 1. musst du schauen, ob es irgendwelche Definitionslücken gibt, zum Beispiel bei einem Bruch falls der Nenner 0 wird ist die Funktion an der Stelle nicht definiert.

x^{3} - 16 x

hat keine Definitionslücken also musst du dir das Grenzwertverhalten (limes) anschauen. Also einmal gegen

\infty

und einmal gegen

- \infty

Atlantik aktiv_icon

11:17 Uhr, 09.06.2013

lim_{x \to + 00} = . .

lim_{x \to - 00} = . .

.

mfG

Atlantik

sarah3434 aktiv_icon

12:29 Uhr, 09.06.2013

danke für die antwort...=)=)
also wenn der nenner und zähler durch einsetzen von einem beliebigen

x 0

ergeben dann wäre es eine definitionslücke oder ? dann könnte man die grenzen des definitionsbereichs gar nicht bestimmen?
(aber die liegt ja hier nicht vor)
Und du hast ja gesagt dass ich mir das grenzwertverhalten gegen

+

oder - unendlich anschauen muss. soll ich mir einfach den graph dazu anschauen und dann ablesen ?
Und könntest du mir vielleicht die schreibweise zeigen also vielleicht einmal die eine aufgabe ganz durchrechnen?

das wäre supernett , danke im voraus...=)

anonymous

12:44 Uhr, 09.06.2013

Grenzwertverhalten :

lim x^{3} - 16 x = \infty

x \to \infty

lim x^{3} - 16 x = - \infty

x \to - \infty

Begründung:
Potenzfunktionen

(x^{3})

haben ein deutlich schnelleres Wachstum als lineare Funktionen

(- 16 x),

das heißt bei dem Grenzwertverhalten (für

x

wird ein sehr großer Wert eingesetzt) "setzt" sich die

x^{3}

durch (ist dominant). Da

x^{3}

für

x \to \infty

gegen

\infty

läuft
und für

x \to - \infty

gegen

- \infty

läuft ergeben sich diese Grenzwerte.

So solltest du das immer kurz begründen, da es auch Aufgaben gibt in denen kein Graph angegeben ist und es immer besser ist es anhand der Funktion zu belegen.

supporter aktiv_icon

12:49 Uhr, 09.06.2013

Nur der Nenner darf nicht NULL werden, der Zähler dagegen sehr wohl.
Bei Wurzeln gilt: Der Wert unter einer Wurzel darf nie negativ werden.
Beispiel:

f (x) = \sqrt{x} - - \to D = R_{0}^{+} = [0; + \infty [

f (x) = \sqrt{x - 5} - - \to D = [5; + \infty [

anonymous

12:51 Uhr, 09.06.2013

Nun zu den Definitionslücken:

Bsp:

f (x) = \frac{2}{x + 1}

Eine Definitionslücken bedeutet, dass beim einsetzes eines bestimmten Wertes die Funktion nicht definiert ist.(ALSO NICHT 0 ergibt, sondern es überhaupt kein Ergebnis liefert!)

Das Beispiel hat die Definitionslücke

- 1

einfach in

f (x)

einsetzen:

f (- 1) = \frac{2}{- 1 + 1} = \frac{2}{0} =

nicht definiert
(Die Division durch 0 ist nicht definiert(liefert keinen Wert))

Bei dieser Aufgabenstellung:
"bestimme das verhalten der funktion an den grenzen des definitionsbereichs."
Müsstest du dann nicht nur das Verhalten im unendliche betrachten

(\infty, - \infty),

sondern auch von beiden Seiten für

- 1

(ein bisschen mehr als

- 1

und ein bisschen weniger) daraus ergeben sich dann folgende limes Berechnungen:

lim \frac{2}{x + 1}

x \to \infty

lim \frac{2}{x + 1}

x \to - \infty

lim \frac{2}{x + 1}

x \to - 1 +

lim \frac{2}{x + 1}

x \to - 1 -

Meistens hast du allerdings glück und es gibt keine Definitionslücken und du musst einfach nur das Grenzverhalten für

\infty

und

- \infty

berechnen.

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