funktion auf gleichmäßige stetigkeit untersuchen

Hmm die Aufgaben kommen mir merkwürdig bekannt vor. :)

Also ich hab das so gemacht:

(i) Hier musst du einfach nur die Abbildung zu f(x) bilden und von der Ableitung den Limes für x ${\displaystyle \to }$ 1 berechnen. Dieser ist ${\displaystyle \mathrm{\infty <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$. Damit kann die Ableitung von f(x), also deren Anstieg nicht beschränkt sein. Dies wäre aber eine Voraussetzung für gleichmäßige Stetigkeit, womit gezeigt ist, dass f(x) nicht gleichmäßig stetig ist.

(ii) Diese Funktion ist stetig (den Nachweis hab ich mit ${\displaystyle \mathrm{ϵ<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ und ${\displaystyle \mathrm{\delta <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ gemacht) im gegebenen Intervall und hat für x${\displaystyle \to }$${\displaystyle \mathrm{\infty <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ den Grenzwert 0. Damit ist die Funktion gleichmäßig stetig.

(iii)Ich die gezeigt, dass 1/x Lipschitz-stetig ist und somit auch gleichmäßig stetig.

(iiii) Die Ableitung von sinh(x²) lautet 2*x*cos(x²). Diese ist unbeschränkt, womit sinh(x²) nicht gleichmäßig stetig sein kann.