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funktionsschar ax^2+x
Schüler Fachschulen, 12. Klassenstufe
Tags: Analysis
 
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anonymous 16:10 Uhr, 17.12.2005  |
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hi wer kann mir helfen? gegeben ist die funktionsschar f(x)=ax^2+x a)skizzieren sie für betrag von a=1, betrag von a=1/2 und betrag von a=1/4 die graphen der funktionen (hier hab ich den scheitelpunkt einfach im koordinatenursrung gesetzt, weil ich ja kein x gegeben hab, was mir auch übrigens in den nächsten aufgaben immer wieder zum problem wird) b)weisen sie nach, dass die lokalen extrempunkte der graphen der schar auf einer geraden liegen (wie weise ich denn nach wenn ich die extrempunkte hab, dass sie auf einer geraden liegen?einfach zeichnen?) c)weisen sie nach, dass alle graphen der schar die abzisse unter dem gleichen winkel schneiden (ich kann doch, wenn ich für x keinen wert gegeben hab doch keine nullstellen berechnen-sonst hätte ich hier den antieg der gerade an den nullstellen berechnet und dann m=tan a oder seh ich das falsch) d)für welches a verläuft der graph durch den punkt P(3;-15) e)für welches a besitzt der graph der funktion eine tangente mit der gleichung y=5x-2 (bei den letzen beiden aufgaben hab ich gar kein plan...) vielen dank schon mal im vorraus |
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Hallo, ich habe das Gefuehl, du bist etwas verwirrt, was den Parameter und die Variable betrifft. Grundsaetzlich gilt, dass bei einer Funktionenschar f(x) mit Parameter a das x die Variable ist, nach der du z.B. ableitest, und das a als "Zahl" behandelt wird. Aufgabe d) ist da vielleicht ein leichtes Beispiel: Zuerst fragt man sich, welchen Funktionswert die Funktion im Punkt 3 hat, wenn a beliebig ist: f(3)=a*3^2+3=9a+3. Nun soll das -15 sein. 9a+3=-15 => a=-2. Dein Problem bei a) verstehe ich nicht. Du sollst doch einfach drei Funktionen zeichen: f_1(x)=x^2+x, f_0.5(x)=0.5*x^2+x und f_0.25(x)=0.25*x^2+x Was fuer ein x soll denn da noch gegeben sein? b) In einem lokalen Extrempunkt ist die Ableitung 0. Also erstmal f_a(x) ableiten und nicht vergessen: a kann man bei sowas einfach als Zahl behandeln, nicht als Variable. f'(x)=2ax+1 Wo ist das 0? 2ax+1=0 => x=-1/(2a) Welchen Funktionswert hat dieses x? f(-1/(2a))=a*(-1/(2a))^2+(-1/(2a)) Das laesst sich vereinfachen zu f(...)=1/(4a)-1/(2a)=-1/(4a). Das ist aber einfach 1/2 mal der Wert, denn du in die Fkt. reingesteckt hast, weshalb die Extrema der Funktionsschar auf der Gerade g(x)=0.5x liegen. c) Zuerst mal musst du wissen, wo die Funktion die Abzisse schneidet. f(x)=0 => ax^2+x=0 => x(ax+1) = 0. Also gibt es zwei NS. Einmal bei x=0 (fuer beliebiges a!) und einmal bei x=-1/a. Wenn ich mich recht erinnere, so muesste es fuer die Gleichheit der Winkel reichen, wenn die Ableitung in diesen Punkten immer dieselbe ist (also fuer alle a). Aber f'(0)=1 und f(-1/a)=-1. Stimmt also. e) Also, um eine Tagente zu sein, muessen sich 5x-2 und f(x) in einem Punkt beruehren. Es muss also ein x geben, so dass 5x-2=ax^2+x => ax^2-4x+2=0. Diese Gleichung hat zwei Loesungen fuer a<2, eine fuer a=2 und keine fuer a>2. Da wir eine Tangente suchen, ist a=2 die Loesung. Denn wenn es zwei Loesungen gaebe, dann wuerde die Gerade f(x) ja nicht nur beruehren sondern quasi durchstossen (schau's dir mal an fuer ein a>2) und wenn sie sich nirgendwo schneiden, dann kann auch keine Tangente sein. Schau dir ruhig mal die Loesungen der Fragen fuer verschieden a an, dann kriegst du sicher ein Gefuehl dafuer, was es bedeutet das a zu aendern. In einem Punkt war ich schlampig. Wann immer irgendwo ein a im Nenner steht, musst du annehmen, dass a ungleich 0 ist, weil du nicht durch 0 teilen darfst. Den Fall a=0 musst du dir explizit ansehen, aber das ist nicht schwierig, weil fuer a=0 f(x)=0x^2+x=x ist. Cheers, Alex |
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