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f(x)=cos(2x) um x0=pi/6 in Potenzreihe entwickeln
Universität / Fachhochschule
Gewöhnliche Differentialgleichungen
Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Potenzreihe
 
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Hallo, ich verzweifel schon seit einiger Zeit an einer Aufgabe: Ich soll die Funktion: um in eine Potenzreihe entwickeln. Ich bin schonmal so weit, dass ich die Funktion einige male abgeleitet habe und Merkmale/Muster mir aufgefallen sind. 1. Ableitung: -2sin(2x) 2. Ableitung: -4cos(2x) 3. Ableitung: 8sin(2x) 4. Ableitung: 16cos(2x) 1. Merkmal: Der Koeffizient entspricht . Mit einer kleinen Problematik... Das Vorzeichen wechselt von 2 mal Negativ, zu 2 mal positiv, zu 2 mal negativ und so weiter... Das schaff ich . nicht irgendwie aufzuschreiben. 2. Merkmal alle geraden Ableitungen, also sind durch cosinus beschrieben und alle ungeraden Ableitungen, also sind durch sinus beschrieben. Und noch so eine kleine Nebenfrage für mein Verständnis: Sind Taylorreihen das gleich wie Potenzreihen oder verwechsle ich da was? Weiter komme ich jedoch nicht. Wäre ziemlich dankbar wenn mir jemand weiter helfen kann. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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> Sind Taylorreihen das gleich wie Potenzreihen? Sagen wir es so: Wenn eine Funktion überhaupt in einer Umgebung eines Punktes durch eine Potenzreihe dargestellt werden kann, dann ist diese Potenzreihe mit der Taylorreihe identisch. Das ist nicht grundlos so vorsichtig formuliert: Es gibt tatsächlich unendlich oft differenzierbare Funktionen, deren Taylorreihe NICHT mit der Funktion übereinstimmt. Aber sowas "pathologisches" liegt hier im Thread nicht vor. ------------------------ -te Ableitung: -te Ableitung: |
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Ah ok so ist der Zusammenhang also. Und wie ist das jetzt mit der Entwicklung in einer Potenzreihe? Verstehe das immer noch nicht ganz.. "(2k−1)-te Ableitung: (−1)^k⋅2^(2k−1)sin(2x) (2k)-te Ableitung: (−1)^k⋅2^(2k)cos(2x)" Den Packen verstehe ich zwar, aber ich weiß nicht wie ich damit weiter mache. |
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Die Taylorreihenformel lautet hier für (hättest du ruhig auch mal selber raussuchen können), dazu hast du doch die Ableitungsformeln ÜBERHAUPT erstmal aufgestellt - oder aus welchem Grund sonst? Und nun: Einsetzen und ausrechnen! |
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Alles klar, vielen dank. Ich glaub ich war da einfach etwas durch den Wind... |
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