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f(x,y)=e^x+y durch Lineare Approximation ableiten

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation, Lineare Approximation

Jonas1399 aktiv_icon

15:35 Uhr, 27.06.2020

Hallo liebes Forum,
meine Aufgabe ist es, mit der Definition zu zeigen, dass die Funktion

f : ℝ^{2} \to ℝ

differenzierbar ist.

Die Definition in unserer Vorlesung ist (grob), dass

f

differenzierbar ist,
wenn

f (x + h) = f (x) +

+ R (h)

wobei

T

dann die Ableitung Df(x) ist, wenn

\frac{R (h)}{| | h | |} \to 0

für

h \to 0

geht.

Nun frage ich mich, wie ich das auf die gegebene Funktion anwenden kann.
Mein Ansatz war einfach loszurechnen, also

f (x + h_{1}, y + h_{2}) = e^{x + h_{1}} + y + h_{2},

wobei ich aber auch ab diesem Punkt nicht weiterkomme.

Mit den partiellen Ableitungen komme ich auf die Ableitung Df(x,y)=

{(\begin{matrix} e^{x} \\ 1 \end{matrix})}^{T},

sodass im Endeffekt in der Rechnung, dass

y

für

f (x, y) = e^{x} + y

und das

h_{2}

als

h_{2} \cdot 1

durch Df(x,y)

\cdot (\begin{matrix} h_{1} \\ h_{2} \end{matrix})

ja stehen bleiben müssten.
Nun frage ich mich aber noch, wie ich

e^{x + h_{1}}

auseinanderziehen kann, sodass mir am Ende

z . B

e^{x} \cdot h_{1}

übrig bleibt, was ja für Df(x,y)

\cdot (\begin{matrix} h_{1} \\ h_{2} \end{matrix})

gebraucht wird.

Ich hoffe, dass Ihr mir da helfen könnt :-)
Liebe Grüße
Jonas

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
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ledum aktiv_icon

18:53 Uhr, 27.06.2020

Hallo
du musst benutzen, dass exp(x+h_1+y+h_2

) = e^{x} \cdot e^{y} \cdot e^{h_{1}} \cdot e^{h_{2}}

ist.
Gruß ledum

Jonas1399 aktiv_icon

15:34 Uhr, 28.06.2020

Danke für Deine Antwort :-)
Ich verstehe irgendwie nicht inwiefern mir das weiterhilft.
Ich habe doch gar nicht

e^{x + h_{1} + y + h_{2}}

auszurechnen, sondern im Prinzip nur

e^{x - + h_{1}}

.
Dass ich hier die Potenzgesetze anwenden kann, weiß ich aber inwiefern hilft es mir denn weiter, wenn ich dann das Produkt

e^{x} \cdot e^{h_{1}}

stehen habe?

Liebe Grüße
Jonas

pwmeyer aktiv_icon

10:25 Uhr, 30.06.2020

Hallo,

Du kannst das nicht algebraisch umformen. Du musst die Differenz

e^{x + h} - e^{x} - e^{x} \cdot h = e^{x} \cdot (e^{h} - 1 - h)

mit Hilfe der Taylorformel oder der Reihendarstellung für die Exponentialfunktion abschätzen.

Gruß pwm

N8eule

11:08 Uhr, 30.06.2020

Besser:

Du hast deine Original-Funktion:

f (x, y) = e^{x} + y

Und deine linearisierte Approximationsfunktion:

f_{A} (x + h_{1}, y + h_{2}) = f (x, y) +

df/dx*h_1

+

df/dy*h_2

f_{A} (x + h_{1}, y + h_{2}) = [e^{x} + y] + e^{x} \cdot h_{1} + 1 \cdot h_{2}

Hierbei ist der Term in

[

eckigen Klammern] schon als Konstate kenntlich gemacht, die du in deinem Linearisierungs-Ausgangspunkt

(x, y)

ausrechnen kannst.

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