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f(x,y)=e^x+y durch Lineare Approximation ableiten

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation, Lineare Approximation

 
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Jonas1399

Jonas1399 aktiv_icon

15:35 Uhr, 27.06.2020

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Hallo liebes Forum,
meine Aufgabe ist es, mit der Definition zu zeigen, dass die Funktion f:2 differenzierbar ist.

Die Definition in unserer Vorlesung ist (grob), dass f differenzierbar ist,
wenn f(x+h)=f(x)+ Th +R(h)
wobei T dann die Ableitung Df(x) ist, wenn R(h)||h||0 für h0 geht.

Nun frage ich mich, wie ich das auf die gegebene Funktion anwenden kann.
Mein Ansatz war einfach loszurechnen, also f(x+h1,y+h2)=ex+h1+y+h2, wobei ich aber auch ab diesem Punkt nicht weiterkomme.

Mit den partiellen Ableitungen komme ich auf die Ableitung Df(x,y)= (ex1)T, sodass im Endeffekt in der Rechnung, dass y für f(x,y)=ex+y und das h2 als h21 durch Df(x,y) (h1h2) ja stehen bleiben müssten.
Nun frage ich mich aber noch, wie ich ex+h1 auseinanderziehen kann, sodass mir am Ende z.B. exh1 übrig bleibt, was ja für Df(x,y) (h1h2) gebraucht wird.

Ich hoffe, dass Ihr mir da helfen könnt :-)
Liebe Grüße
Jonas


Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
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ledum

ledum aktiv_icon

18:53 Uhr, 27.06.2020

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Hallo
du musst benutzen, dass exp(x+h_1+y+h_2 )=exeyeh1eh2 ist.
Gruß ledum
Jonas1399

Jonas1399 aktiv_icon

15:34 Uhr, 28.06.2020

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Danke für Deine Antwort :-)
Ich verstehe irgendwie nicht inwiefern mir das weiterhilft.
Ich habe doch gar nicht ex+h1+y+h2 auszurechnen, sondern im Prinzip nur ex-+h1.
Dass ich hier die Potenzgesetze anwenden kann, weiß ich aber inwiefern hilft es mir denn weiter, wenn ich dann das Produkt exeh1 stehen habe?

Liebe Grüße
Jonas
Antwort
pwmeyer

pwmeyer aktiv_icon

10:25 Uhr, 30.06.2020

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Hallo,

Du kannst das nicht algebraisch umformen. Du musst die Differenz

ex+h-ex-exh=ex(eh-1-h)

mit Hilfe der Taylorformel oder der Reihendarstellung für die Exponentialfunktion abschätzen.

Gruß pwm

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N8eule

N8eule

11:08 Uhr, 30.06.2020

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Besser:

Du hast deine Original-Funktion:
f(x,y)=ex+y

Und deine linearisierte Approximationsfunktion:

fA(x+h1,y+h2)=f(x,y)+ df/dx*h_1 + df/dy*h_2

fA(x+h1,y+h2)=[ex+y]+exh1+1h2

Hierbei ist der Term in [eckigen Klammern] schon als Konstate kenntlich gemacht, die du in deinem Linearisierungs-Ausgangspunkt (x,y) ausrechnen kannst.

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