Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » g in (0/0) partiell diff‘bar, aber nicht stetig

g in (0/0) partiell diff‘bar, aber nicht stetig

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Partielle Ableitung, partielle Differenzierbarkeit, Stetigkeit

Zera1212 aktiv_icon

14:36 Uhr, 20.11.2018

Hallihallo! Ich verzweifle gerade an der Nummer

1 b

. Ich hätte es eigentlich abgeleitet und dann gezeigt, dass der Limes nicht existiert, aber irgendwie komme ich mit der Funktion nicht zu recht. Wäre einer so lieb und könnte mir helfen.

LG Zera

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

pwmeyer aktiv_icon

17:14 Uhr, 20.11.2018

Hallo,

für die partielle Differenzierbarkeit nach

x

im Nullpunkt muss Du untersuchen:

\frac{g (h,0) - g (0,0)}{h}

Was ist

g (0,0),

was ist

g (h,0)

?

Für die Stetigkeit betrachtest du

g (x_{n}, y_{n})

für die zwei Nullfolgen:

- (x_{n}, y_{n}) := (\frac{1}{n},0)

- (x_{n}, y_{n}) := (\frac{\sqrt{2}}{n}, \frac{\sqrt{2}}{n})

Gruß pwm

DerDepp aktiv_icon

17:30 Uhr, 20.11.2018

Hossa :-)

Für die partielle Ableitung von

g (x, y)

im Punkt

(0, 0)

hat eine der Komponenten immer den Wert

0

, ist also rational. Daher gilt:

\frac{\partial g (0, 0)}{\partial x} = lim_{h \to 0} (\frac{g (0 + h, 0) - g (0, 0)}{h}) = lim_{h \to 0} (\frac{1 - 1}{h}) = lim_{h \to 0} (0) = 0 .

\frac{\partial g (0, 0)}{\partial y} = lim_{h \to 0} (\frac{g (0, 0 + h) - g (0, 0)}{h}) = lim_{h \to 0} (\frac{1 - 1}{h}) = lim_{h \to 0} (0) = 0 .

Beide partiellen Ableitungen existieren und haben den Wert

0

.

Wenn die Funktion im Punkt

(0, 0)

stetig wäre, müsste für alle Folgen

x_{n}

mit Grenzwert

0

und für alle Folgen

y_{n}

mit Grenzwert

0

gelten:

lim_{n \to \infty} g (x_{n}, y_{n}) = g (0, 0) = 1

Weil

0

rational ist, hat

g (0, 0)

den Wert

1

. Für die Folgen sind wir faul und picken uns eine einfache heraus, die aber irrational ist, etwa:

x_{n} = y_{n} = \frac{π}{n}; lim_{n \to \infty} x_{n} = lim_{n \to \infty} x_{n} = 0

Da die

x_{n}

und

y_{n}

irrational sind, gilt

g (x_{n}, y_{n}) = 0

für alle n, sodass:

lim_{n \to \infty} g (x_{n}, y_{n}) = lim_{n \to \infty} g (\frac{π}{n}, \frac{π}{n}) = lim_{n \to \infty} (0) = 0 \neq 1 = g (0, 0)

.

Wir haben also eine Folge gefunden, die die Stetigkeitsbedingung nicht erfüllt. Damit ist die Funktion

g (x, y)

im Punkt

(0, 0)

nicht stetig.

Falls nicht bekannt, solltest du vielleicht noch zeigen, dass das Produkt einer rationalen Zahl und einer irrationalen Zahl wieder irrational ist, damit auch sichergestellt ist, dass

\frac{1}{n} \cdot π = \frac{π}{n}

irrational ist. Dazu fühst du den Beweis am besten durch Widerspruch, indem du "rational mal irrational = rational" betrachtest.

Zera1212 aktiv_icon

23:48 Uhr, 20.11.2018

Vielen Dank für eure schnelle Antwort! Das hat mir sehr weitergeholfen.
Ich setze mich da morgen einmal mit frischem Kopf dran und hoffe, dass ich die dann fertig habe und keine Fragen mehr auftauchen.

LG
Zera

1448293

1448206

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?