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ganzrationale Funktion

Schüler Gymnasium,

Tags: innerer Radius, Verhältnis Volumune

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10:38 Uhr, 16.02.2020

Bitte um Hilfe! Es geht um die Modellierung ganzrationaler Funktionen:

Ein Getreidesilo ist 16 Meter hoch. Vereinfacht dargestellt besteht es aus einem Zylinder mit einer aufgesetzten Halbkugel.

a.) Bestimmen Sie das Fassungsvermögen des insgesamt 16 Meter hohen Silos in Abhängigkeit vom inneren Radius x des Zylinders.

b.) Die Innenwand des Zylinders soll mit einem Spezialanstrich versehen werden. Bestimmen Sie die Fläche in Abhängigkeit von inneren Radius x des Zylinders.

c.) Untersuchen Sie anhand einer Wertetabelle oder eines Graphen, ob es einen Radius gibt, für den das Volumen des Silos maximal wird.

Meine Vorüberlegungen:

Der Radius des Zylinders und der der Halbkugel stimmen überein.
Die Höhe des Zylinders beträgt also 16 m - (minus) des Radius x.

zu a.) Die Formel für das Volumen des Zylinders und der Halbkugel lauten also:

V(Zylinder)= G * h = pi * r^2 * (16-r)
V(Halbkugel) = (4/3 * pi * r^3) / 2 = 2/3 * pi *r^3

Wenn ich richtig gerechnet habe, ergibt das ein Gesamtvolumen von:

V ( Zyliner + Halbkugel) = 16*pi*r^2 - pi*r^3 + 2/3*pi*r^3 =
V ( Zyliner + Halbkugel) = 16*pi*r^2 - 1/3*pi*r^3

Stimmen meine Überlegungen so? Danke für eure Hilfe.

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Respon

10:46 Uhr, 16.02.2020

Ja, allerdings sollst du lt. Angabe für den Radius die Bezeichnung

x

wählen.

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10:51 Uhr, 16.02.2020

Ist Aufgabe a.) damit abgeschlossen außer, dass ich r durch x ersetzen muss?

Respon

10:55 Uhr, 16.02.2020

Nachdem eine funktionelle Abhängigkeit gefragt ist verwende auch die entsprechende Schreibweise.

z . B

V (x) = ...

oder

V_{g e s a m t} (x) = . .

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17:02 Uhr, 19.02.2020

Bei Aufgabe c.) habe ich überhaupt keine Ahnung, wie ich da ran gehen soll. Kann mir jemand helfen?

Atlantik aktiv_icon

18:04 Uhr, 19.02.2020

V (x) = 16 \cdot π \cdot x^{2} - \frac{1}{3} π \cdot x^{3}

1 .)

Die Frage, ob es ein maximales Volumen bei einem bestimmten Radius gibt, lässt sich durch Nullstellenuntersuchung herausfinden.

16 \cdot π \cdot x^{2} - \frac{1}{3} π x^{3} = 0

. .

2 .)

Über eine Wertetabelle:

z . B

V (5) = 16 \cdot π \cdot 5^{2} - \frac{1}{3} π \cdot 5^{3} = . .

V (10) = 16 \cdot π \cdot 10^{2} - \frac{1}{3} π \cdot 10^{3} = . .

V (...) = . .

.

Durch den Fund der beiden Nullstellen hast du für die Wertetabelle schon eine Eingrenzung.

Mit dieser Wertetabelle kannst du nun auch einen Graphen erstellen (Achtung die y-Werte erreichen schwindelerregende Höhen)

4 .)

Der Weg über das Differenzieren (ich nehme an, das das bei euch noch kommt) erweist sich als große Erleichterung, das Maximum zu finden:

V (x) = 16 \cdot π \cdot x^{2} - \frac{1}{3} π \cdot x^{3}

V

(x) = 2 \cdot 16 \cdot π \cdot x^{2 - 1} - 3 \cdot \frac{1}{3} π \cdot x^{3 - 1}

V

(x) = 32 \cdot π \cdot x - π \cdot x^{2}

32 \cdot π \cdot x - π \cdot x^{2} = 0

x \cdot (32 \cdot π - π \cdot x) = 0

x_{1} = 0

32 \cdot π - π \cdot x = 0

x_{2} = 32 [m]

V (32) = 16 \cdot π \cdot 32^{2} - \frac{1}{3} π \cdot 32^{3} \approx 17175 [m^{3}]

mfG

Atlantik

Respon

20:56 Uhr, 19.02.2020

x_{2} = 32

???

. .

. und das bei einer Gesamthöhe von

16 m!

\to

c .)

Untersuchen Sie anhand einer Wertetabelle oder eines Graphen, ob es einen Radius gibt, für den das Volumen des Silos maximal wird."

Da es - im wirklichen Leben - kaum negative Volumina gibt, ist wohl bei

x = 16

ein Maximum, wenn auch dann der Silo etwas gewöhnungsbedürftig aussieht.

( siehe auch Grafik )

Roman-22

22:13 Uhr, 19.02.2020

Bevor man wild drauflos rechnet wie Atlantik sollte man sich erst über den Definitionsbereich der Variablen im Klaren werden.
Im konkreten Fall kann sich der Zylinderradius doch nur im Bereich

[0 m; 16 m]

bewegen.

>

Bei Aufgabe

c .)

habe ich überhaupt keine Ahnung, wie ich da ran gehen soll.
Aber da steht doch schon in der Angabe! Da werden dir zwei Vorgegehensweisen vorgschlagen.
Du kannst dir die Funktion plotten lassen und ablesen, so sie im Definitionsbereich von

r

ihren größten Wert annimmt
ODER
du erstellst eine Wertetabelle für

r = 0 m

bis

r = 16 m

(zB alle

2 m)

und schaust nach, wo du den größten Volumswert erhältst.

Für

r = 0 m

stellt sich ein unendlich dünner "Zylinder" mit Volumen Null ein, für

r = 16 m

artet der Silo in eine halbkugelförmige Kuppel aus. Im Bereich

[0; 16] m

ist die Volumsfunktion streng monoton steigend, weswegen sich, wie Respon schon schrieb, das maximale Volumen für

r = 16 m

einstellen muss.

Atlantik aktiv_icon

12:14 Uhr, 21.02.2020

In Ordnung, dass der Radius nicht

32

sein kann, habe ich verstanden,

Nun suche ich nach einem V(x),wo diese Halbkugel zu 0 wird und der Zylinder maximal wird.

Nimmt man

r = 16

und

h = 16,

so wird

V = π \cdot 16^{2} \cdot 16 \approx 12867,96

. Dieser Wert ist nun um einiges größer als wennn die Halbkugel mit

V = 8578,642

maximal wird.

mfG

Atlantik

Mathe45

12:23 Uhr, 21.02.2020

" ...besteht es aus einem Zylinder mit einer AUFGESETZTEN Halbkugel."
Ein Silo sieht üblicherweise SO aus:

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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